Een voorbeeld van het Gebruik van
de Lagrangian Methode van de Multiplicator
om een beperkt Probleem van de Maximalisering op te lossen

Laat ingevoerde input Q=output, L=labor en K=capita1 waar q = L^2/3K^1/3. De kosten van gebruikte middelen zijn C=wL+rK, waar w het loontarief is en r het huurtarief voor kapitaal is.

Probleem: Vind de combinatie van l en k die output onderworpen aan de beperking maximaliseert dat de kosten van gebruikte middelen c zijn; d.w.z., maximaliseer q met betrekking tot l en k onderworpen aan de beperking die vL+rK=C.

Merk op dat maximaliseren van ln (Q)= (2/3)ln (L)+ (1/3)ln (K) het zelfde als maximaliserend Q is, zodat is de objectieve functie ln (Q).

• 
  Stap 1: Vorm de functie Langrangian door van de objectieve functie een veelvoud van het verschil tussen de kosten van de middelen en de begroting af te trekken toegestaan voor middelen; d.w.z.,

  G= ln (Q) - λ (wL+rK-c)
  G= (2/3) ln (L) + (1/3) ln (K) - λ (wL+rK-c)

  waar λ de Lagrangian multiplicator wordt genoemd. Inderdaad, legt deze methode een sanctie aan om het even welke voorgestelde oplossing op die aan de mate evenredig is waarin de beperking wordt overtreden. Door de constante van evenredigheid te kiezen grote genoeg kan de oplossing in naleving van de beperking worden gedwongen.

• 
  Stap 2: Vind het ongedwongen maximum van G met betrekking tot L en K voor een vaste waarde van λ door de waarden van L te vinden en K dergelijke thet de gedeeltelijke derivaten van G equel aan nul zijn.

  ∂G/∂L = (2/3) (1/L) - λw = 0
  ∂G/∂K = (1/3) (1/K) - λr = 0

• 
  Stap 3: Los voor het optimale eind K op van L als functie van λ; d.w.z.,

  (2/3) (1/L) = λw zo L = (2/3)/(λw)
  (1/3) (1/K) = λr zo K = (1/3)/(λr)

• 
  Stap 4: Vind een waarde van λ dusdanig dat de beperking tevreden is. Dit wordt verwezenlijkt door de uitdrukkingen te substitueren voor L en K in termen van λ in de beperking en voor λ op te lossen.

  wL + rK = (2/3) (1/λ) + (1/3) (1/λ)
  = 1/λ = C zo λ = 1/C.

• 
  Stap 5: Gebruik de waarde van λ die in Stap 4 in de uitdrukkingen voor het eind K wordt gevonden van L dat in Stap 3 wordt gevonden de optimale waarde van L en K. te bepalen.

  L* = (2/3) (C/w)
  en
  K* = (1/3) C/r).

• 
  Stap 6: Gebruik de optimale waarden van L en K dat in Stap 5 wordt gevonden het optimale niveau van de objectieve functie gegevens te verwerken.

• 
  Stap 7: Merk op dat de waarde van λ aan het gedeeltelijke derivaat van de objectieve functie met betrekking tot de grootte van de beperking gelijk is. In dit geval

  ∂G/∂C = ∂ (ln (Q))/∂C = λ