Un exemple de l'utilisation de
la méthode lagrangienne de multiplicateur
pour résoudre un problème contraint de maximisation

Laissez l'entrée de Q=output, de L=labor et le K=capital entré où Q = L^2/3K^1/3. Le coût de ressources utilisées est C=wL+rK, où W est le salaire horaire et r est le taux de location pour le capital.

Problème: Trouvez la combinaison de L et de K qui maximise le rendement sujet à la contrainte que le coût de ressources utilisées est C; c.-à-d., maximisez Q en ce qui concerne L et K sujet à la contrainte qui vL+rK=C.

Notez cela qui maximise ln(Q)=(2/3)ln(L)+(1/3)ln(K) est les mêmes qu'en maximisant Q, ainsi la fonction objective est ln(Q).

• Étape 1: Formez la fonction de Langrangian en soustrayant de la fonction objective un multiple de la différence entre le coût des ressources et le budget a tenu compte des ressources; c.-à-d.,

  G = ln(Q) - λ(wL+rK-C)
  G = (2/3)ln(L) + (1/3)ln(K) - λ(wL+rK-C)

  là où λ s'appelle le multiplicateur lagrangien. En effet, cette méthode applique une sanction à n'importe quelle solution proposée qui est proportionnelle jusqu'au degré auquel la contrainte est violée. En choisissant la constante de la proportionnalité assez grande la solution peut être obligatoire dans la conformité à la contrainte.

• 
  Étape 2: Trouvez le maximum sans contrainte de G en ce qui concerne L et K pour une valeur fixe de λ en trouvant les valeurs de L et de K un tel thet les dérivés partiels de G sont equel à zéro.

  ∂ G /∂L = (2/3)(1/L) - λw = 0
  ∂G/∂K = (1/3)(1/K) - λr = 0

• 
  Étape 3: Résolvez pour le L optimal l'extrémité K comme fonction de λ; c.-à-d.,

  (2/3)(1/L) = λw ainsi L = (2/3)/(λw)
  (1/3)(1/K) = λr ainsi K = (1/3)/(λr)

• 
  Étape 4: Trouvez une valeur de λ tels que la contrainte est satisfaite. Ceci est accompli près substituant les expressions à L et à K en termes de λ dans l'extrémité de contrainte résolvant pour le λ.

  wL + rK = (2/3)(1/λ) + (1/3)(1/λ) =
  1/λ=C ainsi; λ=1/C.

• 
  Étape 5: Employez la valeur du λ a trouvé dans l'étape 4 dans les expressions pour L l'extrémité K avéré dans l'étape 3 déterminer la valeur optimale de L et de K.

  L* = (2/3)(C/w)
  et
  K* = (1/3)C/r).

• 
  Étape 6: Employez les valeurs optimales de L et K a trouvé dans l'étape 5 pour calculer le niveau optimum de la fonction objective.

• Étape 7: Notez que la valeur du λ est égal au dérivé partiel de la fonction objective en ce qui concerne la taille de la contrainte. Dans ce cas-ci

  ∂ G/∂C = ∂(ln(Q))/∂C = λ