Ein Beispiel des Gebrauches
die Lagrangian Vervielfachermethode
ein begrenztes Steigerungproblem lösen

Lassen Sie Eingang Q=output, L=labor und eingegebenes K=capita1 wo Q = L^2/3 K^1/3. Die Kosten der benutzten Betriebsmittel sind C=wL+rK, in dem W die Lohnrate ist und r der Mietpreis für Kapital ist.

Problem: Finden Sie die Kombination von L und von K, das Ausgang abhängig von der Begrenzung maximiert, die die Kosten der benutzten Betriebsmittel C sind; maximieren Sie d.h. Q in Bezug auf L und K abhängig von der Begrenzung, die vL+rK=C.

Merken Sie das, das ln(Q)=(2/3)ln(L)+(1/3)ln(K) maximiert, ist dasselbe wie, Q maximierend, also ist die Zielfunktion ln(Q).

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  Schritt 1: Bilden Sie die Funktion Langrangian, indem Sie von der Zielfunktion eine Mehrfachverbindungsstelle des Unterschiedes zwischen den Kosten der Betriebsmittel subtrahieren und der Etat ließ Betriebsmittel zu; d.h.

  G = ln(Q) - λ(wL+rKC)
  G = (2/3)ln(L) + (1/3)ln(K) - λ(wL+rKC)

  wo λ wird den Lagrangian Vervielfacher benannt. In Wirklichkeit erlegt diese Methode eine Strafe nach jeder möglicher vorgeschlagenen Lösung auf, die zum Umfang proportional ist, in dem die Begrenzung verletzt wird. Indem sie die Konstante von Proportionatität groß genug wählt, kann die Lösung in Befolgung der Begrenzung Zwangs sein.

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  Schritt 2: In Bezug auf finden Sie das zwanglose Maximum von G L und K für einen örtlich festgelegten Wert von λ von indem es die Werte L und K findet, sind solches thet die teilweisen Ableitungen von G equel bis null.

  ∂ G /∂L = (2/3)(1/L) - λw = 0
  ∂ G /∂K = (1/3)(1/K) - λr = 0

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  Schritt 3: Lösen Sie für das optimale L Ende K als Funktion von λ; d.h.

  (2/3)(1/L) = λw so L = (2/3)/(λw)
  (1/3)(1/K) = λr so K = (1/3)/(λr)

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  Schritt 4: Finden Sie einen Wert von λ so, daß die Begrenzung erfüllt ist. Dieses wird vollendet, indem man die Ausdrücke für L und K in λ ausgedrückt ersetzt; in die Begrenzung und in das Lösen für λ.

  wL + rK = (2/3)(1/λ) + (1/3)(1/λ) =
  1/λ =C => λ= 1/C.

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  Schritt 5: Verwenden Sie den Wert von λ fand in Schritt 4 in den Ausdrücken für L Ende K gefunden in Schritt 3, um den optimalen Wert von L und von K festzustellen.

  L* = (2/3)(C/w)
  und
  K* = (1/3)C/r).

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  Schritt 6: Verwenden Sie die optimalen Werte von L und von K gefunden in Schritt 5, um das optimale Niveau der Zielfunktion zu berechnen.

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  Schritt 7: Merken Sie daß der Wert von λ ist der teilweisen Ableitung der Zielfunktion in Bezug auf die Größe der Begrenzung gleich. In diesem Fall

  ∂ G /∂C = ∂(ln(Q))/∂C = λ