Un esempio dell'uso di
il metodo di moltiplicatore lagrangian
per risolvere un problema costretto di massimazione

Lasci l'input di L=labor, di Q=output e K=capita1 immesso dove Q = L^2/3K^1/3. Il costo delle risorse usate è C=wL+rK, dove il W è il tasso di stipendio e la r è il tasso locativo per capitale.

Problema: Trovi la combinazione della L e di K che eleva l'uscita conforme al vincolo che il costo delle risorse usate è C; cioè, elevi la Q riguardo alla L ed a K conforme al vincolo che vL+rK=C.

Si noti che che eleva ln(Q)=(2/3)ln(L)+(1/3)ln(K) è lo stessi dell'elevando la Q, in modo da la funzione obiettiva è ln(Q).

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  Punto 1: Formi la funzione di Langrangian sottraendo dalla funzione obiettiva un multiplo della differenza fra il costo delle risorse ed il preventivo ha tenuto conto le risorse; cioè,

  G = ln(Q) - λ(wL+rK-C)
  G = (2/3)ln(L) + (1/3)ln(K) - λ(wL+rK-C)

  dove λ è denominato il moltiplicatore lagrangian. In effetti, questo metodo applica una sanzione a tutta la soluzione proposta che è proporzionale nella misura a cui il vincolo è violato. Scegliendo il costante della proporzionalità abbastanza grande la soluzione può essere forzata in conformità al vincolo.

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  Punto 2: Trovi il massimo non costretto del G riguardo alla L ed a K per un valore fisso del λ trovando i valori della L ed K tali che i derivati parziali del G sono ugauli a zero.

  ∂ G/∂L = (2/3)(1/L) - λw = 0
  ∂G/∂K = (1/3)(1/K) - λr = 0

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  Punto 3: Risolva per la L ottimale l'estremità K come funzione del λ; cioè,

  (2/3)(1/L) = λw così L = (2/3)/(λw)
  (1/3)(1/K) = λr così K = (1/3)/(λr)

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  Punto 4: Trovi un valore del λ tali che il vincolo è soddisfatto. Ciò è hy compiuto sostituendo le espressioni per la L e K in termini di λ nell'estremità di vincolo che risolve per il λ.

  wL + rK = (2/3)(1/λ) + (1/3)(1/λ) =
  1/λ=C => λ=1/C.

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  Punto 5: Usi il valore del λ ha trovato a punto 4 nelle espressioni per la L l'estremità K trovato a punto 3 per determinare il valore ottimale della L e di K.

  L* = (2/3)(C/w)
  e
  K* = (1/3)C/r).

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  Punto 6: Usi i valori ottimali della L e di K trovati a punto 5 per computare il livello ottimale della funzione obiettiva.

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  Punto 7: Si noti che il valore del λ è uguale al derivato parziale della funzione obiettiva riguardo al formato del vincolo. In questo caso

  ∂ G /∂C = ∂(ln(Q))/∂C = λ