使用の例の
Lagrangian乗数方法
強いられた最大化問題を解決するため

入るQ=output、L=laborの入力およびK=capita1をところでQ = L2^/3K1/3許可しなさい。 使用される資源の費用はwが賃金率のrが首都のためのレンタル料金であるC=wL+rKであり。

問題: Lおよび使用される資源の費用がCである抑制に応じて出力を最大にするKの組合せを見つけなさい; すなわち、vL+rK=C.抑制に応じてLおよびKに関してQを最大にしなさい。

ln (Q)= (2/3)のln (L)+ (1/3)のln (k)を最大にするそれにであり注意しQを最大にすると同じ、そうすれば目的関数はln (q)である。

• 
  ステップ1: 目的関数から資源の費用間の相違の倍数を引くことによってLangrangian機能を形作れば予算は資源を可能にした; すなわち、

  G=のln (q) - λ (wL+rK-C)
  G= (2/3)のln (l) + (1/3) ln (k) - λ (wL+rK-C)

  λがLagrangian乗数と呼ばれるところ。 事実上、この方法は抑制が違反される範囲に比例しているあらゆる提案された解決策に罰を課す。 十分に大きい比例の定数の選択によって解決は抑制の承諾に強制であるにはできる。

• 
  ステップ2: Lの価値を見つけることによってλの固定価値のためのLおよびKおよびKに関してGの拘束を受けない最高をGの部分的な派生物によってがゼロへequelであるそのようなthet見つけなさい。

  ∂G/∂L = (2/3) (1/L) - λw = 0
  ∂G/∂K = (1/3) (1/K) - λr = 0

• 
  ステップ3: λの機能として最適L端Kを求めなさい; すなわち、

  (2/3) (1/L) = λwそうL = ((2/3)/λw)
  (1/3) (1/K) = λrそうK = ((1/3)/λr)

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  ステップ4: 抑制が満足することλの価値をそのような物見つけなさい。 これは抑制にλによって表現をLおよびKの代わりにし、λを求めることによって達成される。

  WL + rK = (2/3) (1/λ) + (1/3) (1/λ) =
  1/λ =そうCのλ = 1/C。

• 
  ステップ5: LおよびK.の最適の価値を定めるとステップ3で見つけられて見つけられるL端Kのために表現のステップ4でλの価値を使用しなさい。

  L * = (2/3) (C/w)
  そして
  K * = (1/3) C/r)。

• 
  ステップ6: LおよびKの最適の価値を目的関数の最適レベルを計算すると見つけたステップ5で使用しなさい。

• 
  ステップ7: λの価値が抑制のサイズに関して目的関数の部分的な派生物と等しいことに注目しなさい。 この場合

  ∂G/∂C = ∂ (ln (q)の)/∂C = λ

 

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