Um exemplo do uso de
o método do multiplicador lagrangian
para resolver um problema confinado do maximization

Deixe a entrada de Q=output, de L=labor e o K=capita1 input onde Q = L ^2/3 K ^1/3 . O custo dos recursos usados é C=wL+rK, onde w é a taxa de salário e r é a taxa rental para o capital.

Problema: Encontre a combinação de L e de K que maximizes o assunto da saída ao confinamente que o custo dos recursos usados é C; isto é, maximize Q com respeito ao assunto de L e de K ao confinamente que vL+rK=C.

Anote isso que maximizing ln(Q)=(2/3)ln(L)+(1/3)ln(K) é o mesmo que maximizing Q, assim que a função objetiva é ln(Q).

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  Etapa 1: Dê forma à função de Langrangian subtraindo da função objetiva um múltiplo da diferença entre o custo dos recursos e o orçamento permitiu recursos; isto é,

  G = ln(Q) - λ(wL+rK-C)
  G = (2/3)ln(L) + (1/3)ln(K) - λ(wL+rK-C)

  onde λ é chamado o multiplicador lagrangian. De fato, este método impõe uma penalidade em cima de toda a solução proposta que for proporcional à extensão a que o confinamente violated. Escolhendo a constante do proportionality grande bastante a solução pode ser forçada no compliance com o confinamente.

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  Etapa 2: Encontre o máximo unconstrained de G com respeito a L e a K para um valor fixo do λ encontrando os valores de L e de K tal thet os derivatives parciais de G é equel a zero.

  ∂ G /∂L = (2/3)(1/L) - λw = 0
  ∂ G /∂K = (1/3)(1/K) - λr = 0

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  Etapa 3: Resolva para o L optimal extremidade K como a função do λ; isto é,

  (2/3)(1/L) = λw assim L = (2/3)/(λw)
  (1/3)(1/K) = λr assim K = (1/3)/(λr)

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  Etapa 4: Encontre um valor do λ tais que o confinamente está satisfeito. Isto é realizado substituindo as expressões para L e K nos termos do λ no confinamente e em resolver para o λ.

  wL + rK = (2/3)(1/λ) + (1/3)(1/λ) =
  1/λ=C => λ=1/C.

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  Etapa 5: Use o valor do λ encontrou em etapa 4 nas expressões para L extremidade K encontrado em etapa 3 para determinar o valor optimal de L e de K.

  L * = (2/3)(C/w)
  e
  K * = (1/3)C/r).

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  Etapa 6: Use os valores optimal de L e de K encontrados em etapa 5 para computar o nível o melhor da função objetiva.

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  Etapa 7: Anote que o valor do λ é igual ao derivative parcial da função objetiva com respeito ao tamanho do confinamente. Neste caso

  ∂ G /∂C = ∂(ln(Q))/∂C = λ