Un ejemplo del uso de
el método lagrangian del multiplicador
para solucionar un problema obligado de la maximización

Deje la entrada de Q=output, de L=labor y K=capita1 entrado donde Q = L ^2/3 K ^1/3 . El coste de recursos usados es C=wL+rK, donde está la tarifa W de salario y r es la tarifa de alquiler para el capital.

Problema: Encuentre la combinación de L y de K que maximice salida conforme al constreñimiento que el coste de recursos usados es C; es decir, maximice Q con respecto a L y a K conforme al constreñimiento que vL+rK=C.

Observe eso que maximiza ln(Q)=(2/3)ln(L)+(1/3)ln(K) es igual que maximizando Q, así que la función objetiva es ln(Q).

• Paso 1: Forme la función de Langrangian restando de la función objetiva un múltiplo de la diferencia entre el coste de los recursos y el presupuesto permitió recursos; es decir,

  G = ln(Q) - λ(wL+rK-C)
  G = (2/3)ln(L) + (1/3)ln(K) - λ(wL+rK-C)

  donde λ se llama el multiplicador lagrangian. En efecto, este método impone una pena ante cualquier solución propuesta que sea proporcional al grado a el cual se viola el constreñimiento. Eligiendo la constante de la proporcionalidad bastante grande la solución puede ser forzada en conformidad con el constreñimiento.

• Paso 2: Encuentre el máximo libre de G con respecto a L y a K para un valor fijo del λ encontrando los valores de L y de K tales que los derivados parciales de G es iguales a cero.

  ∂ G /∂L = (2/3)(1/L) - λw = 0
  ∂ G /∂K = (1/3)(1/K) - λr = 0

• Paso 3: Solucione para el L óptimo extremo K como función del λ; es decir,

  (2/3)(1/L) = λw tan L = (2/3)/(λw)
  (1/3)(1/K) = λr tan K = (1/3)/(λr)

• Paso 4: Encuentre un valor del λ euch que el conetraint im satisfizo. Éste es hy logrado substituyendo las expresiones para L y K en términos del λ en el extremo del constreñimiento que soluciona para el λ.

  wL + rK = (2/3)(1/λ) + (1/3)(1/λ) =
  1/λ = de C &lambda tan; = 1/C.

• Paso 5: Utilice el valor del λ encontró en el paso 4 en las expresiones para L extremo K encontrado en el paso 3 para determinar el valor óptimo de L y de K.

  L * = (2/3)(C/w)
  y
  K * = (1/3)C/r).

• Paso 6: Utilice los valores óptimos de L y de K encontrados en el paso 5 para computar el nivel óptimo de la función objetiva.

• Paso 7: Observe que el valor del λ es igual al derivado parcial de la función objetiva con respecto al tamaño del constreñimiento. En este caso

  ∂ G /∂C = ∂(ln(Q))/∂C = λ