Ett exempel av användningen av
den Lagrangian multiplikatormetoden
till lösa ett tvunget Maximizationproblem

Låta Q=output, L=labor insats och insats K=capita1 var Q = L2^/3K1/3. Kostnaden av använde resurser finnas C=wL+rK, var w finnas wagehastigheten, och r finnas den rental hastigheten för huvudstad.

Problem: Finna kombinationen av L och K som maximerar resultatämnet till tvånget, som kostnaden av använde resurser finnas C; maximera dvs. Q med hänsyn till l- och K-ämne till tvånget som vL+rK=C..

Notera det som maximerar ln (Q) = (2/3) ln för ln (L)+ (1/3) (K) finnas samma såsom att maximera Q, målinriktningfunktionen finnas så ln (Q).

• 
  Steg 1: Bilda den Langrangian funktionen, genom att subtrahera alltifrån målinriktningfunktionen en multipel av skillnaden emellan kostnaden av resurserna, och budgeten beviljade för resurser; dvs.

  G= ln (Q) - λ (wL+rK-C)
  G= (2/3) ln (v) + (1/3) ln (K) - λ (wL+rK-C)

  var λ heter den Lagrangian multiplikatorn. I effekt denna metod lägger på en sanktion på någon blivande lösning som finnas proportionellt till omfattningen till vilket tvånget finnas överträdt. Genom att välja det konstant av stort nogt för proportionality, lösningburken finnas tvunget in i samtycke med tvånget.

• 
  Steg 2: Finna det unconstrained maxt av G med hänsyn till L, och K för ett fast värde av λ, genom att finna värdena av sådan thet för L och för K de delvisa derivata av G, finnas equel till noll.

  ∂G/∂L = (2/3) (1/L) - λw = 0
  ∂G/∂K = (1/3) (1/K) - λr = 0

• 
  Steg 3: Lösa för det optimal let slut K såsom funktion av λ; dvs.

  (2/3) (1/L) = λw så L = (2/3)/(λw)
  (1/3) (1/K) = λr så K = (1/3)/(λr)

• 
  Steg 4: Finna ett sådan värde av λ att tvånget finnas tillfredsställt. Detta finnas utfört, genom att substituting uttrycken för L och K i ordalag av λ in i tvånget och att lösa för λ.

  wL + rK = (2/3) (1/λ) + (1/3) (1/λ) =
  1/λ = för C λ så = 1/C.

• 
  Steg 5: Använda värdet av λ som finnas i steg 4 i uttrycken för L slut K som finnas i steg 3 till, bestämmer det optimal värdet av L och K.

  L * = (2/3) (C/w)
  och
  K * = (1/3) C/r).

• 
  Steg 6: Använda de optimal värdena av L, och K som finnas i steg 5 till, beräknar den optimala nivån av målinriktningfunktionen.

• 
  Steg 7: Notera att värdet av λ finnas jämbördig till den delvisa derivatan av målinriktningfunktionen med hänsyn till storleken av tvånget. I detta fall

  ∂G/∂C = ∂ (ln (Q))/∂C = λ

 

HEMSIDA AV applet-magic.com HEMSIDA AV Thayer Watkins