étant donné que nous commençons le point X₁(0), X₂(0),…, X_n(0), et où les coefficients c₁, c₂,…, c_n sont indiqués et T est la certaine heure finie définie. Nous sommes donnés de prétendues fonctions de direction pour commander les changements des variables d'état; c.-à-d.,

dX₁/dt = f₁(X₁,X₂,.., X_n,u₁,u₂,..,um)

dX₂/dt = f₂(X₁,X₂,.., X_n,u₁,u₂,..,u_m)

...........................................................

dX_n/dt = f_n(X₁,X₂,.., X_n,u₁,u₂,..,u_m)

 

là où les variables u₁, u₂,…, u_m sont des fonctions de temps et s'appellent les variables de commande. L'objectif est de choisir les variables de commande à chaque instant de temps afin d'orienter les variables d'état de leurs valeurs initiales

X₁(0), X₂(0),...,X_n(0)
 

à un certain point

X₁(T), X₂(T),...,X_n(T)
 

là où V(T) = c₁X₁(T) + c₂X₂(T) + ...c_nX_n(T) est maximisé.

Ceci semble être très un difficile chargent. Le principe maximum de Pontryagin fournit une solution ordonnée et systématique. la méthode une de Pontryagin d'instrument de

To définit un hamiltonien fonction

H = φ₁f₁ + φ₂f₂ + ... + φ_nf_n
= Σφ_if_i,
 

là où l'ensemble de variables d'adjoint φ₁,φ₂,..,φ_n sont tels que

dφ_i/dt = - ∂H/∂X_i

= -Σ_i φ_j∂f_i)/ ∂X_i
 

et φ_i(T)= c_i pour i=1,2,..,n.

La valeur optima des variables de commande au temps t sont celle cela maximise le H.

Ceci signifie habituellement que u_j(t) optimum est tel que

∂H/∂u_j(t) = 0;
i.e.,

Σ_iX_i∂f_i)/∂u_j(t) = 0 for j=1,...,m.
 

Un exemple d'un problème de Bolzano dans les sciences économiques :

Supposez qu'un individu a un revenu noninterest de y(t) pour 0≤ t≤ T ce qui peut être consommé ou sauvé à un taux d'intérêt de R. L'individu veut choisir un programme c(t) de consommation pour 0≤ t≤ T ce qui maximisera l'utilité

U(T) = ∫₀^T ln(c(t))exp(-at)dt.
 

Les actifs financiers A(t) de l'individu sont déterminés près l'équation :

dA/dt = y + rA - c.
 

Il y a également une condition cette les actifs financiers du l'individu à la fin de sa durée de vie soit non négatif; c.-à-d.,

A(T)≥0.
 

Ceci peut être considéré un problème de Bolzano avec X₁=U and X₂=A.

Les fonctions de direction sont :

dU/dt = ln(c(t))exp(-at)

dA/dt = rA + y - c.
 

La fonction objective est de maximiser U(T) sujet à la contrainte cela &GE D'A(T); 0. La contrainte peut être satisfaite en faisant l'objectif fonction

V(T) = U(T) + vA(T)
 

et choisissez le λ suffisamment grand pour assurer que A(T)≥; 0.

La fonction hamiltonienne est

H(t) = φ_Uln(c)exp(-at) + φ_A[rA + y - c],
 

là où les variables d'adjoint sont marquées par le nom du variable correspondante d'état.

La condition pour un c optimal(t) est

φ_Uexp(-at)/c - φ_A = 0,
ou
c(t) = φ_Uexp(-at)/φ_A.
 

Les variables d'adjoint sont définies près

dφ_U/dt = -∂H/∂U = 0

dφ_A/dt = -∂H/∂A = -φ_Ar.
 

Depuis dφ_U/dt = 0 for all t, φ_U = constant. Depuis φ_U(T)=1, φ_U(t)=1 pour tous t.

L'équation pour φ_A implique cela

(1/φ_A)(dφ_A)/dt) = -r
 

ainsi

d(ln[φ_A])/dt = -r
 

et par conséquent, en raison de intégration de t à T,

ln[φ_A(T)] - ln[φ_A(t)] = -r(T-t).
 

Depuis φ(T) = λ,

ln[φ_A(t)] = ln(λ) + r(T-t)

φ_A = λexp(r(T-t)).
 

Substitution des valeurs à φ_U and φ_Adans la condition pour un optimal c(t) donne

c(t) = exp(-at)/(λ exp(r(T-t))

ou, d'une manière equivalente,

c(t) = exp(-(a-r)t)/(λ exp(rT)).
 

Quand cette expression pour c(t) est substituée dans le différentiel équation

dA/dt = y(t) + rA(t) - c(t)
 

et l'équation est résolue pour A(T), une valeur de λ peut être trouvé à faites A(T)=0.

Un exemple de trouver un
optimal de politique Employer le principe de maximum de Pontryagin

Supposez cela quand il n'y a aucune pêche la croissance des poissons la population dans un lac est donnée près

dP/dt = 0.08P(1-0.000001P),
 

là où P est le nombre de poissons.

Cette équation indique cela

dP/dt = 0 when(1-0.000001P)=0; i.e., when P = 1,000,000.

Supposez que nous voulons choisir un niveau de consommation des poissons C(t) au cours de la période 0 à T qui maximisez l'utilité. Supposez que nous voulons choisir un niveau de consommation des poissons C(t) au cours de la période 0 à T qui maximisez l'utilité

U = ∫₀^T exp(-0.03t)ln(C(t))dt.
 

Ceci peut être mis dans la forme d'un problème de Bolzano; c.-à-d., maximisez U sujet à :

dU/dt = exp(-0.03t)ln(C(t))

dP/dt = 0.08P(1-0.000001P)-C(t).
 

and P(T)≥0.

La contrainte P(T)≥ 0 peut être remplacé par la condition cela

U(T)+λP(T) be maximized.

La fonction hamiltonienne est

H = φ_Uexp(-0.03t)ln(C(t)) + φ_P[0.08P(1-0.000001P)-C*t)]
 

et par conséquent

dφ_U/dt = 0 et

dφ_P/dt = -φ_P(0.08)(1 - 0.000002P).
 

Depuis φ_U(T)=1, φ_U(t) = 1 pour tous t.

La deuxième équation implique cela

(1/φ_P)(dφ_P)/dt = -(0.08)(1 - 0.000002P)

ou d(ln(φ_PP)/dt = -(0.08)(1 - 0.000002P).
 

Le c(t) optimal est celui qui maximise H(t). C'est réalisé où

∂H)/∂C(t) = exp(-0.03t)/C(t) - φ_P = 0.
 

Ainsi le c(t) optimal est donné près

C(t) = exp(-0.03t)/φ_PP.
 

La politique optimale est trouvée en résolvant vers l'arrière du t=T trois équations

C(t) = exp(-0.03t)/φ_P

dP/dt = 0.08P(1-0.000001P) - C(t), P(T)=0

d(ln(φ_P)/dt = -(0.08)\(1 - 0.000002P),
φ_P(T) = λ,
 

Une solution approximative est employer déterminé

dP/dt = [P(t)-P(t-h)]/h
ainsi
P(t-h) = P(t) - h(dP/dt).
 

Une valeur de λ est choisi et la valeur de P(0) est déterminée. Si cette valeur n'égale pas la valeur initiale indiquée de P puis valeur de λ est ajusté.