Was unten veranschaulicht wird, ist das Histogramm für 2000 Wiederholungen des Nehmens der Proben n der Zufallsvariablen und des Berechnens der Summe. Jedesmal wird die Anzeige ein neuer Satz von 2000 Wiederholungen der Proben wird verursacht erneuert.

Die Zufallsvariable wird gleichmäßig zwischen -0.5 und +0.5 verteilt. Die Summe wird durch das Teilen durch die Quadratwurzel der Mustergröße N. normalisiert, das diese die Zerstreuung der Verteilung Konstante hält. Andernfalls mit größerem n würde die Verteilung heraus verbreitet sein. Während die Mustergröße n größer erhält, approximiert die Verteilung genauer die Form vom Normalverteilungs mit dem Mittel, das bis null gleich ist.

Die Geschichte des zentralen Grenzwertsatzes

William J. Adams, in seinem Buch das Leben und die Zeiten des zentralen Grenzwertsatzes sagt, daß die Keimung des zentralen Grenzwertsatzes mit Abraham de Moivre anfing, ein französischer Hugenot Flüchtling in London.

Abraham de Moivre

De Moivre war ein großartiger Mathematiker, der die erneuerte Verfolgung der Protestanten nach der Rücknahme des Erlasses von Nantes floh. In London lernte er die oberen englischen Wissenschaftler und die Mathematiker, einschließlich Isaac Newton kennen, aber er könnte nicht eine akademische Verabredung sichern. Sich, das er als Berater auf Problemen Finanzierung, bearbeitete Versicherung und Wahrscheinlichkeit stützen, das letzte Sein für Spieler. Er forschte die Begrenzungen auf die binomiale Verteilung nach, wie die Zahl Versuchen ohne Grenze sich erhöht und fand, daß das Funktion exp(-x²) oben in Zusammenhang mit diesem Problem kam. Insbesondere suchte de Moivre, die Wahrscheinlichkeit des häufigsten Auftretens in einer binomialen Verteilung festzustellen, die fand, vorbei approximiert zu werden

2/(B√n)(1/2 ⁿ) für große Werte von n
und wo
log(B) = 1 -1/12 + 1/360 -1/1260 + 1/1680
 

James Stirling entdeckte, daß B √2π gleich ist.

Jetzt ist es weithin bekannt, daß die Spitze der binomialen Verteilung für zwei gleichmäßig wahrscheinliche Fälle von der Form ist:

Die Wahrscheinlichkeit von m=n/2 Erfolge in den n=2m Versuchen ist
((m!)(m!)/(2m)!)(1/2^2m)
 

Der Gebrauch von Formel Stirlings für das Faktoren-, das anscheinend im Wesentlichen von de Moivre entdeckt wurde, gibt das Resultat, das von de Moivre gefunden wird.

Während de Moivre Rolle gespielt durch exp(-x²/2) da die Begrenzung auf andere Verteilung fand, die er nicht an dachte
(1/√2π) exp(-x²/2) als seiend eine Verteilung aus eigenem Recht.

Die Formulierung vom Normalverteilungs kam mit Thomas Simpson in Zusammenhang mit den Verteilung Störungen in der astronomischen Beobachtung. Diese Idee war wurde erweitert auf durch den deutschen Mathematiker Karl Friedrich Gauss, der dann die Grundregel von wenigen entwickelte -Quadrate. Unabhängig entwickelten die französischen Mathematiker Pierre Simon de Laplace und Adrien-Marie Legendre auch diese Ideen. In einigen Ländern einschließlich Deutschland bekannt das Normalverteilungs, während die Gaussain Verteilung und in Frankreich es als die Laplacian Verteilung bekannt.

Karl Friedrich Gauss

Pierre Simon de Laplace

Es war mit Arbeit Laplaces, daß die ersten Andeutungen des zentralen Grenzwertsatzes erschienen. Aber der rigorose Beweis des zentralen Grenzwertsatzes kam von den russischen Mathematikern. P.L. Chebyshev begann das Projekt, um eine rigorose Entwicklung des zentralen Grenzwertsatzes und seiner Kursteilnehmer, Andrei A. Markov und Alexander M. Lyapunov zu erreichen.

P.L. Chebyshev

Andrei A. Markov

Alexander M. Lyapunov

Es war Analyse Lyapunovs, die das zu die moderne charakteristische Funktion Annäherung zum zentralen Grenzwertsatz führte.

Abbildung des zentralen Grenzwertsatzes in charakteristischen Funktionen ausgedrückt

Betrachten Sie die Verteilungsfunktion

p(Z) = 1 wenn -1/2 ≤ z ≤ +1/2
= 0 anders
 

welches die Grundlage für die vorhergehenden Abbildungen des zentralen Grenzwertsatzes war. Diese Verteilung hat Mittelwert von null und seine Abweichung ist 2(1/2)³/3 = 1/12. Seine Standardabweichung ist folglich 1/√12 oder 1/(2√3).

Die Abweichung von

(z₁ + z₂ +… + z_n)/√n
ist
(1/√n)²(nVar(Z)) = Var(Z).
 

Die Abteilung der Summe durch √n ergibt die normalisierte Summe, die eine konstante Abweichung hat. So sollten alle Verteilungsfunktionen der normalisierten Summen eine Abweichung von 1/12 haben.

Die charakteristische Funktion von p(z)

Der Hintergrund für die Theorie der charakteristischen Funktionen wird anderwohin gegeben

Das charakteristische Funktion φ(ω) für die Verteilung, ist

Re(φ(ω)) = ∫_-1/2^1/2cos(ωz)dz
= 2sin(ω/2)/ω
und
Im(φ(ω)) = ∫_-1/2^1/2sin(ωz)dz = 0
 

So φ(ω) = sin(ω/2)/(ω/2). Die Funktion sin(x)/x kommt herauf so häufig, daß sie einen Namen gegeben worden ist, sinc(x). Folglich φ(ω) = sinc(ω/2).

Die charakteristische Funktion der Summe von zwei unabhängigen Zufallsvariablen ist das Produkt ihrer charakteristischen Funktionen. So würde die Summe n der unabhängigen Variablen mit der oben genannten Verteilung dann sein:

[φ(ω)]ⁿ = sincⁿ(ω/2)
 

Die Variable, die in den vorhergehenden Abbildungen geplottet wird, ist die normalisierte Summe von n Variablen, in denen die Summe durch √n. geteilt wird. Der Effekt auf die charakteristische Funktion des Multiplizierens der Zufallsvariable mit einem Normierungsfaktor s ist, den Parameter in der charakteristischen Funktion mit dem Normierungsfaktor zu multiplizieren. Folglich ist die charakteristische Funktion der normalisierten Summe von n Zufallsvariablen mit Verteilung p(z)

φ_n(ω) = sincⁿ((ω/2)/√n)
 

Der Logarithmus dieser charakteristischen Funktion ist

log(φ_n(ω)) = n log(sinc((ω/2)/√n))
 

Jetzt ist das Problem, die Begrenzung auf diese Funktion zu finden, da n ohne Grenze sich erhöht. Während n also sich erhöht, nähert sich der oben genannte Ausdruck das unbestimmte bilden ∞0. Die Begrenzung in solchen Fällen L'Hospital Richtlinie zu finden kann angewendet werden. Für das Anwenden von von Richtlinie L'Hospitals ist es am besten, die oben genannte log-charakteristische Funktion wie darzustellen:

log(φn(ω)) =
log(sinc((ω/2)/√n))/(1/n)
 

Dieses nähert sich der unbestimmten Form 0/0 als n → ∞.

Die Ermittlung der Begrenzung zu erleichtern ist es bequem ließ ω/2)/√n als ζ dargestellt werden. Merken Sie auch das

seit sinc(ζ) = sin(ζ)/ζ
sinc'(ζ) = cos(ζ)/ζ -sin(ζ)/ζ²
sinc"(ζ) = -sin(ζ)/ζ -cos(ζ)/ζ² -cos(ζ)/ζ² + 2sin(ζ)/ζ³
= -sin(ζ)/ζ -2cos(ζ)/ζ² + 2sin(ζ)/ζ³
= -sin(ζ)/ζ -2(ζcos(ζ) -sin(ζ))/ζ³
 

Ausserdem merken Sie dieses ∂ζ/∂n = -(1/2)(ω/2)n^-3/2. Ableitungen des Zählers und Nenner in Bezug auf n jetzt nehmen gibt:

(sinc'(ζ)(ω/2)(-1/2)n^-3/2)/sinc((ζ))
(-1/N2)
 

Dieses verringert sich auf der Form

(1/2)(ω/2)(sinc'(ζ)/sinc(ζ))
(1/√n)
 

Dieses nähert wieder sich der unbestimmten Form 0/0, also ist es notwendig, Ableitungen des Zählers und des Nenners wieder zu nehmen.

Die Ableitung des Zählers der oben genannten Form ist

(1/2)(ω/2)((sinc"(ζ)/sinc(ζ))-((sinc'(ζ)/sinc(ζ))²) ∂ζ/∂n
 

Die Ableitung des Nenners ist -(1/2)n^-3/2. Dieses annulliert heraus die Bezeichnung, die n in ∂ζ/∂n. mit einbezieht.

So ist das Verhältnis

(1/2)(ω/2)((sinc"(ζ)/sinc(ζ))-((sinc'(ζ)/sinc(ζ))²)(ω/2)
 

Die Begrenzung auf ζ als n Zunahmen ohne Grenze ist und seit dem null

sinc(0) = 1
sinc'(0) = 0
sinc"(0) = -1 + 2/3 = -1/3
 

das Verhältnis nähert sich der Begrenzung auf

-(1/2)(1/3)(ω/2)²
= -(1/12) ω²/2
 

Da die log-charakteristische Funktion von einem Normalverteilungs mit Mittelnull und Standardabweichung σ ist

-σ²ω²/2
 

die log-charakteristische Begrenzungsfunktion der normalisierten Summe von Variablen mit der Verteilungsfunktion p(Z) als n→∞ ist die von einem Normalverteilungs mit Mittel von null und Abweichung von 1/12. Dieses ist ein Fall des zentralen Grenzwertsatzes.