Che cosa è illustrato sotto è l'istogramma per 2000 ripetizioni di prelevare i campioni delle variabili casuali di n e di computazione della somma. Ogni volta l'esposizione è rinfrescata un nuovo insieme di 2000 ripetizioni dei campioni è generata.

La variabile casuale è distribuita uniformemente in mezzo- 0.5 e +0.5. La somma è normalizzata dividendosi dalla radice quadrata della dimensione del campione N. che questa mantiene la dispersione del costante di distribuzione. Altrimenti con più grande n la distribuzione sarebbe sparsa fuori. Mentre la dimensione del campione n ottiene più grande la distribuzione si approssima più molto attentamente alla figura del di distribuzione normale con la media uguale a zero.

La storia del teorema di limite centrale

William J. Adams, in suo libro ladurata ed i tempi del teorema di limite centrale dice che la germinazione del teorema di limite centrale ha cominciato con Abraham de Moivre, un rifugiato francese di Hugenot a Londra.

Abraham de Moivre

De Moivre era un matematico superb che ha fuggito il persecution rinnovato dei Protestants dopo l'annullamento del Edict di Nantes. A Londra è stato al corrente degli scienziati e dei matematici inglesi più importanti, compreso Isaac Newton, ma non potrebbe assicurare un appuntamento accademico. Per sostenersi che ha lavorato come consulente sui problemi della finanza, assicurazione e probabilità, essere posteriore per i gamblers. Ha studiato i limiti della distribuzione binomiale come il numero di prove aumenta senza limite ed ha trovato che il exp di funzione exp(-x²/2) è venuto in su in relazione a questo problema. In particolare, de Moivre ha cercato di determinare la probabilità di caso più frequente in una distribuzione binomiale, che ha trovato per approssimarsi a vicino

2/(B√n) (1/2ⁿ)
per i grandi valori di n,
dove
log(B) = 1- 1/12 + 1/360- 1/1260 + 1/1680 - · · ·

James Stirling ha scoperto che la B è uguale a √2π.

Ora è ben noto che il picco della distribuzione binomiale per due eventi ugualmente probabili è della forma:

La probabilità di m=n/2 successi nelle prove di n=2m è
((m!)(m!)/(2m)!)(1/2^2m)

L'uso della formula dello Stirling per il fattoriale, che essenzialmente è stato scoperto apparentemente da de Moivre, fornisce risultato trovato da de Moivre.

Mentre de Moivre ha trovato atteggiato da exp (- x²/2) poichè il limite dell'altra distribuzione che non ha pensato a
(1/√2π) exp (- x²/2) come essendo una distribuzione della relativa propria destra.

La formulazione del di distribuzione normale è venuto con Thomas Simpson in relazione agli errori di distribuzione nell'osservazione astronomica. Questa idea era è stata espansa su dal Gauss tedesco del Carl Friedrich del matematico che allora ha sviluppato il principio di di minimi quadrati. Indipendentemente i matematici francesi Pierre Simon de Laplace e Adrien-Marie Legendre inoltre hanno sviluppato queste idee. In alcuni paesi, compreso la Germania il di distribuzione normale è conosciuto mentre la distribuzione di Gaussain ed in Francia esso è conosciuta come la distribuzione di Laplacian.

Gauss del Carl Friedrich

Pierre Simon de Laplace

Era con il lavoro del Laplace che i primi inklings del teorema di limite centrale sono comparso. Ma la prova rigorosa del teorema di limite centrale è venuto dai matematici russi. Il P.L. Chebyshev ha lanciato il progetto per ottenere uno sviluppo rigoroso del teorema di limite centrale e dei suoi allievi, Andrei A. Markov ed Alexander M. Lyapunov.

P.L. Chebyshev

Andrei A. Markov

Alexander M. Lyapunov

Era analisi che del Lyapunov quello ha condotto al metodo moderno di caratteristico funzione al teorema di limite centrale.