Opmerkelijk is de reeks al dergelijke wortels telbaar.

Als de coëfficiënten om wortels van geheel-coëfficiënt veeltermen worden toegestaan te zijn is de belangrijkheid van de reeks wortels nog ₀. Aldus door de reeks coëfficiënten uit te breiden worden wij nooit een reeks die een belangrijkheid groter dan ₀ heeft

De axiomatische Definitie van Echte Aantallen

Deze benadering van de echte aantallen gebruikt elf axioma's om een volledig bevolen gebied, de echte aantallen te bepalen. Laat (S, +, *, <) een reeks zijn en functie twee, + en *, riep toevoeging en vermenigvuldiging, respectievelijk, en een orderelatie <, die een functie van Boole is. De functies worden gewoonlijk genoemd verrichtingen en in tussenvoegselaantekening vertegenwoordigd, maar zij zijn niets meer dan speciale binaire functies. De eerste acht axioma's bepalen een gebied:

• Closedness van Toevoeging en Vermenigvuldiging: Als a en B tot S toen doen dat a+b en a*b. behoren.
• Associativity:
  Als a, B, en c dan tot S behoren
  a + (B + c) = (a + B) + c
  a* (b*c) = (a*b) *c
• Commutativity van Toevoeging en Vermenigvuldiging:
  a + B = B + a
  a*b = b*a
• Distributivity van Vermenigvuldiging over Toevoeging:
  Als a, B, en c tot S toen a* (B + c) = a*b + a*c. behoren.
• Bijkomende en Vermenigvuldigende Identiteiten
  Er gaan twee leden van S, 0 en 1 weg, dusdanig dat
  voor allen het behoren tot S, a + 0 = a
  en a*1 = a.
• Bijkomende Omgekeerden:
  Voor elk het behoren tot S er bestaat een element van S, zegt B, dusdanig dat a + B = 0. Het element B wordt gewoonlijk aangeduid - a.
• Vermenigvuldigende Omgekeerden:
  Voor elk het behoren tot S buiten bijkomende identiteit 0 er bestaat een element van S, zegt B, dusdanig dat a*b = 1. Het element B is gewoonlijk aangeduide a-1.
• Trichotomy:
  Als a en B tot S of a < B of B < a of a=b. behoren.
• Transitiviteit van de Relatie van de Orde:
  Als a < B en B < c toen a < c.
• Isotony van de Relatie van de Orde:
  Als a < B toen voor al c behoren tot S.A. + c die < B +c.
  Als a < B en 0 < c toen a*c < b*c.
• Voltooiing:
  Als T is bond een ondergroep van S met een bovenleer B die tot S behoren dusdanig dat voor allen het behoren tot T, a < B, dan er meest minst hoger verbindend aan T bestaan; d.w.z., een element c die tot S behoren dusdanig dat c minder dan of gelijk aan elk bovenleer verbindend van T. is.

Men moet tonen dat stelt dat de reeks oneindige opeenvolgingen van cijfers deze axioma's tevreden. Dit is niet onbelangrijk. Merk opnieuw op dat voor de meeste rationele aantallen er twee oneindige opeenvolgingen zijn die het zelfde echte aantal vertegenwoordigen. Bijvoorbeeld, kan vermenigvuldigende identiteit 1 als 1.000… en 0.999 worden vertegenwoordigd….

Denk na hoe te om de som twee opeenvolgingen 0.a en₁a₂a₃... 0.b. te vertegenwoordigen.₁b₂b₃... Als de opeenvolgingen toen beëindigden kon de som bepaald in termen van aanvang met de meest rechtse cijfers en het uitdrukken van de som in termen van verrichting dragen. Voor is de oneindige opeenvolgingen deze procedure niet beschikbaar. Aldus aangezien wij √2 of geen √3 kunnen uitschrijven het is meer mogelijk om √2+√3 uit te schrijven. Bepalen van a*b zou nog harder zijn.

Van bovengenoemde kan zien waarom de formele definitie in wiskunde van reals is in termen van wat Besnoeiingen Dedekind worden genoemd. Een andere definitie is in termen van wat opeenvolgingen Cauchy worden genoemd.

In termen van opeenvolgingen Cauchy is een echt aantal een convergentieopeenvolging. Nu is de definitie van som en product gemakkelijk. Als X={x_i: i=0,1,2,...} en Y={y_i: i=0,1,2,...} twee convergerende opeenvolgingen toen zijn zijn de som en het product eenvoudig de opeenvolgingen X+Y={(x_i+y_i): i=0,1,2,...} en X*Y={(x_i*y_i): i=0,1,2,...}, die kunnen convergerend worden getoond om te zijn. Voor meer op dit zie Echte Aantallen als Opeenvolgingen Cauchy.

Hoewel complexer brengen deze benaderingen niets buiten de vrij naïeve benadering van oneindige opeenvolgingen van eerder voorgestelde cijfers op. De aanwinst van deze andere definities is in stijfheid en provability van voorstellen.

De reeks Transcendentale Aantallen

Het is bijzonder moeilijk om te bewijzen dat een specifiek aantal, zoals π, transcendentaal is. Vrijwel alle transcendentale aantallen kunnen niet namelijk zelfs worden gespecificeerd. Er is nochtans één nuttig resultaat dat werd ontdekt onafhankelijk door de Russische wiskundige Aleksandr Gelfond en de Duitse wiskundige Theodor Schneider in 1934 was. Dit resultaat, genoemd de Stelling gelfond-Schneider, zegt dat

als α een algebraïsch aantal buiten 0 of 1 is, en β een irrationeel algebraïsch aantal toen is is α ^β transcendentaal; d.w.z., nietalgebraïsch. I

Aldus wordt het Probleem Hilbert van al dan niet 2^√2 transcendentaal is opgelost door de Stelling gelfond-Schneider. Aantal 2 is algebraïsch en √2 is een irrationeel algebraïsch aantal. Aldus is 2^√2 transcendentaal. Eveneens is 2^√3 transcendentaal, zoals ook (√2)^√2 is.

Voorafgaand aan het resultaat van Gelfond en Schneider was het belangrijkste resultaat op dit gebied een resultaat dat door Carl Louis Ferdinand von Lindemann in 1882 wordt bewezen en dat door Karl Theodor Wilhelm Weierstrass in 1885 wordt veralgemeend. Het resultaat van Lindemann is dat voor om het even welk non-zero algebraïsch aantal β, eβ transcendentaal is.

Bovengenoemd stelt een overweging van alle transcendentale aantallen voor die een vertegenwoordiging in termen van de Stelling gelfond-Schneider hebben; d.w.z., alle nummer x dusdanig dat er α en β dusdanig dat bestaan x=α^β. De belangrijkheid van dergelijke aantallen is

_0⁰

Dit is de orde van het continuum.

De stelling gelfond-Schneider is eveneens voor complexe aantallen van toepassing, maar dat is een verschillend verhaal.