Remarquablement l'ensemble de toutes telles racines est comptable.

Si on permet aux les coefficients d'être des racines des polynômes de nombre-coefficient la cardinalité de l'ensemble de racines est toujours ₀. Ainsi en augmentant l'ensemble de coefficients nous n'obtenons jamais un ensemble qui a une cardinalité plus considérablement que ₀

La définition axiomatique de vrais nombres

Cette approche aux vrais nombres emploie onze axiomes pour définir un champ commandé complet, les vrais nombres. Laissé (S, +, , <) être un ensemble et deux fonctionnent, + et , appelé addition et multiplication, respectivement, et une relation d'ordre <, qui est une fonction booléenne. Les fonctions habituellement s'appellent les opérations et sont représentées dans la notation d'infixe, mais elles ne sont rien des fonctions binaires plus que spéciales. Les huit premiers axiomes définissent un champ :

• Closedness d'addition et de multiplication : Si a et b appartiennent à S puis ainsi fait a+b et ab.
• Associativity :
  Si a, b, et c appartiennent à S alors
  a + (b + c) = (a + b) + c
  a (bc) = (ab)c
• Commutativity d'addition et de multiplication :
  a + b = b + a
  ab = ba
• Distributivity de multiplication au-dessus d'addition :
  Si a, b, et c appartiennent à l'a de S puis (b + c) = ab + ac.
• Identités additives et multiplicatives
  Là annule deux membres de S, de 0 et de 1, tel que
  pour le tout une appartenance à S, a + 0 = a
  et a1 = A.
• Inverses additifs :
  Pour le chaque une appartenance à S là existe un élément de S, disent b, tel qu'a + b = 0. L'élément b est habituellement dénoté - a.
• Inverses multiplicatifs :
  Pour le chaque une appartenance à S autre que l'identité additive 0 existe là un élément de S, disent b, tel qu'ab = 1. L'élément b est habituellement A-1 dénoté.
• Trichotomy :
  Si a et b appartiennent à S a < b ou b < a ou a=b.
• Transitivité de la relation d'ordre :
  Si a < b et b < c puis a < C.
• Isotony de la relation d'ordre :
  Si a < b puis pour tout le c appartenant à SA. + c < b +c.
  Si a < b et 0 < ac de c puis < bc.
• Accomplissement :
  Si T est un sous-ensemble de S avec une limite supérieure b appartenant à S tels que pour le tout une appartenance à T, a < b, alors là existent une moindre limite supérieure à T ; c.-à-d., un élément c appartenant à S tels que c est inférieur ou égal à chaque limite supérieure de T.

Il doit montrer que cela l'ensemble d'ordres infinis des chiffres satisfait ces axiomes. Ce n'est pas insignifiant. Noter encore que pour la plupart des nombres raisonnables il y a deux ordres infinis qui représentent le même vrai nombre. Par exemple, l'identité multiplicative 1 peut être représentée en tant que 1.000… et 0.999….

Considérer comment représenter la somme des deux ordres 0.a₁a₂a₃... et 0.b.₁b₂b₃... Si les ordres finissaient alors la somme pourrait défini en termes de commencer par les chiffres extrême droite et exprimer la somme en termes d'opération de transport. Pour les ordres éternels ce procédé n'est pas disponible. Ainsi puisque nous ne pouvons pas écrire √2 ou √3 il est même moins possible d'écrire √2+√3. La définition de l'ab serait encore plus dure.

De le ci-dessus peut voir pourquoi la définition formelle dans les mathématiques des reals est en termes de ce que s'appellent les coupes de Dedekind. Une autre définition est en termes de ce qui s'appellent les ordres de Cauchy.

En termes d'ordres de Cauchy un vrai nombre est un ordre de convergence. Maintenant la définition de la somme et du produit est facile. Si X={x_i: i=0,1,2,...} et Y={y_i: i=0,1,2,...} sont deux ordres convergents puis la somme et le produit sont simplement les ordres X+Y={(x_i+y_i): i=0,1,2,...} et XY={(x_i*y_i): i=0,1,2,...}, qui peuvent s'avérer convergents. Pour plus sur ceci voir les vrais nombres comme ordres de Cauchy.

Bien que plus complexe ces approches ne rapportent rien autre que l'approche relativement naïve des ordres infinis des chiffres précédemment présentés. Le gain de ces autres définitions est dans la rigueur et le provability des propositions.

L'ensemble de nombres transcendantaux

Il est excessivement difficile de montrer qu'un nombre spécifique, tel que le π, est transcendantal. En effet, pratiquement tous les nombres transcendantaux ne peuvent pas même être spécifiés. Il y a cependant un résultat utile qui était a été découvert indépendamment par le mathématicien russe Aleksandr Gelfond et le mathématicien allemand Theodor Schneider en 1934. Ce résultat, appelé le théorème de Gelfond-Schneider, indique cela

si le α est un nombre algébrique autre que 0 ou 1, et β est un nombre algébrique irrationnel alors α β est transcendantal ; c.-à-d., non-algébrique.

If α is an algebraic number other than 0 or 1, and β is an irrational algebraic number then α^β is transcendental; i.e., non-algebraic.

Ainsi le problème de Hilbert de si 2√2 est transcendantal est résolu par le théorème de Gelfond-Schneider. Le numéro 2 est algébrique et √2 est un nombre algébrique irrationnel. Ainsi 2^√2 est transcendantal. De même 2^√3 est transcendantal, comme est également (√2)^√2.

Avant le résultat de Gelfond et de Schneider le résultat principal dans ce domaine était un résultat prouvé par Karl Louis Ferdinand von Lindemann en 1882 et généralisé par Karl Theodor Wilhelm Weierstrass en 1885. Le résultat de Lindemann est celui pour n'importe quel nombre algébrique différent de zéro β, eβ est transcendantal.

Ce qui précède suggère une considération de tous les nombres transcendantaux qui ont une représentation en termes de théorème de Gelfond-Schneider ; c.-à-d., tous les numéros X tels que là existe α et β tels que X=α^β. La cardinalité de tels nombres est

_0⁰

C'est l'ordre du continuum.

Le théorème de Gelfond-Schneider s'applique pour des nombres complexes aussi bien, mais c'est une histoire différente.