Das oben genannte ist die Summe der Brüche, die, durch Standardmethoden, als einzelner Bruch ausgedrückt werden können; d.h. eine rationale Zahl.

Algebraische Zahlen

Algebraische Zahlen sind Zahlen, die Lösungen zu den polynomischen Gleichungen mit Zahlkoeffizienten, wie √2 sind, dem eine Lösung zu ist x²-2 = 0. Ganze Zahlen und rationale Zahlen sind spezielle Fälle algebraischer Zahlen. Obgleich der Satz der algebraischen Zahlen viele irrationalen Zahlen umfaßt, wie √2, es nicht alle irrationalen Zahlen enthält. Z.B. ist das konstante π nicht eine algebraische Zahl. Es wird eine transcendental Zahl genannt; d.h. eine reale Zahl, die nicht eine algebraische Zahl ist. Es gibt nur einige vertraute transcendental Zahlen. Die Unterseite der natürlichen Logarithmen, e=2.71828182859045…, ist ein anderes vertrautes.

Es konnte scheinen, dass es viele mehr algebraischen Zahlen als transcendental Zahlen gibt, aber wirklich ist die Rückseite der Fall. Es gibt von transcendental Zahlen der Unbegrenztheit als algebraische Zahlen ein höherer Ordnung. Die Kardinalität der algebraischen Zahlen ist ₀, die selben wie die natürlichen Zahlen (nichtnegative ganze Zahlen), ganze Zahlen und rationale Zahlen. Dies heißt, dass die Kardinalität des Satzes von transcendental Zahlen die selbe wie die des Satzes der realen Zahlen ist, der Auftrag des Kontinuums.

Zu die oben genannte Behauptung zu prüfen ließ uns zuerst den Satz aller Polynome mit Zahlkoeffizienten betrachten. Dieses ist gerade so allgemein wie, Polynome mit Koeffizienten der rationalen Zahl betrachtend, weil man mit den Nennern der rationalen Koeffizienten multiplizieren kann, um Zahlkoeffizienten zu erhalten. Der Satz aller Zahlkoeffizientpolynome ist der Anschluss des Satzes all dieser linearer Gleichungen, quadratische Gleichungen, Gleichungen dritten Grades und so weiter.

Die Kardinalität des Satzes aller linearen Gleichungen des Zahlkoeffizienten ist (z−{0}) ×Z. Der führende Koeffizient eines Polynoms sollte nicht null sein. Die Kardinalität des Satzes aller linearen Gleichungen ist
₀×₀=₀

Ebenso ist die Kardinalität des Satzes aller Zahlkoeffizient quadratischen Gleichungen ₀×₀×₀ = ₀. Ähnlich ist die Kardinalität aller n-th Gradpolynome ₀.

Jedes mögliches n-th Gradpolynom hat höchstens n-eindeutige Wurzeln. Folglich ist die Kardinalität des Satzes der Wurzeln von allen n-th Gradpolynomen höchstens n×₀=₀. So ist die Kardinalität des Satzes der Wurzeln zu allen Zahlkoeffizient Polynomen höchstens

₀+₀+₀+... =
₀×₀ = ₀
 

Bemerkenswert ist der Satz all dieser Wurzeln zählbar.

Wenn die Koeffizienten Wurzeln der Zahlkoeffizient Polynome werden sein gelassen, ist die Kardinalität des Satzes der Wurzeln noch ₀. So indem wir den Satz von Koeffizienten erweitern, erhalten wir nie einen Satz, der eine Kardinalität grösser als ₀ hat

Die axiomatische Definition der realen Zahlen

Diese Annäherung an die realen Zahlen verwendet elf Axiome, um ein komplettes bestelltes Feld, die realen Zahlen zu definieren. Gelassen (S, +, *, <) ein Satz und zwei sein arbeiten, + und *, benannt Zusatz und Vermehrung, beziehungsweise und eine Auftragsrelation <, die eine boolesche Funktion ist. Die Funktionen werden normalerweise Betriebe genannt und dargestellt im Infixschreibweise, aber sie sind nichts mehr als spezielle binäre Funktionen. Die ersten acht Axiome definieren ein Feld:

• Closedness des Zusatzes und der Vermehrung: Wenn a und b S dann also gehören, tut a+b und a*b.
• Associativity:
  Wenn a, b und c S dann gehören
  a + (b + c) = (a + B) + c
  a* (b*c) = (a*b)*c
• Commutativity des Zusatzes und der Vermehrung:
  a + b = b + a
  a*b = b*a
• Distributivity der Vermehrung über Zusatz:
  Wenn a, b und c S dann a* gehören (b + c) = a*b + a*c.
• Additive und multiplikative Identitäten
  Nimmt zwei Mitglieder S, 0 und 1, sodass heraus
  für alles ein Gehören S, a + 0 = a
  und a*1 = A.
• Additive Gegenteile:
  Für jedes existiert ein Gehören S dort ein Element von S, sagen b, sodass a + b = 0. Das Element b wird normalerweise - a bezeichnet.
• Multiplikative Gegenteile:
  Für jedes existiert ein Gehören S anders als die additive Identität 0 dort ein Element von S, sagen b, sodass a*b = 1. Das Element b ist normalerweise bezeichneter a-1.
• Trichotomy:
  Wenn a und b S entweder a < b oder b < a oder a=b. gehören.
• Transitivität der Auftrags-Relation:
  Wenn a < b und b < c dann a < C.
• Isotony der Auftrags-Relation:
  Wenn a < b dann für alles c, das S.A. + c < b +c. gehört.
  Wenn a < b und 0 < c dann a*c < b*c.
• Beendigung:
  Wenn T eine Teilmenge von S mit einem oberen Limit ist b, das S sodass für alles ein Gehören T, a < b gehört, dann ein weniges oberes Limit zu T existieren; d.h. ein Element c, das S so gehört, dass c kleiner als oder Gleichgestelltes zu jedem oberen Limit von T. ist.

Es muss gezeigt werden, dass das der Satz der endlosen Reihenfolgen der Stellen diese Axiome zufriedenstellt. Dieses ist nicht trivial. Wieder merken, dass für die meisten rationalen Zahlen es zwei endlose Reihenfolgen gibt, die die gleiche reale Zahl darstellen. Z.B. kann die multiplikative Identität 1 als 1.000… und 0.999 dargestellt werden….

Betrachten, wie man die Summe der zwei Reihenfolgen 0.a₁a₂a₃... und 0.b₁b₂b₃... Wenn die Reihenfolgen dann beendeten, könnte die Summe definiert in dem Beginnen mit den am weitesten rechts stehenden Stellen und dem Ausdrücken der Summe ausgedrückt in dem tragenbetrieb ausgedrückt. Für ist endlose Reihenfolgen dieses Verfahren nicht vorhanden. So, da wir √2 oder √3 nicht ausschreiben können, ist es sogar weniger möglich, √2+√3. auszuschreiben. Das Definieren von a*b würde sogar härter sein.

Vom oben genannten kann sehen, warum die formale Definition in der Mathematik der reals ist in, was ausgedrückt Dedekind Schnitte benannt werden. Eine andere Definition ist in, was ausgedrückt Cauchy Reihenfolgen genannt werden.

In Cauchy Reihenfolgen ausgedrückt ist eine reale Zahl eine Konvergenzreihenfolge. Jetzt ist die Definition der Summe und des Produktes einfach. Wenn X={x_i: i=0,1,2,...} und Y={y_i: i=0,1,2,...} zwei konvergente Reihenfolgen dann sind, sind die Summe und das Produkt einfach die Reihenfolgen X+Y={(x_i+y_i): i=0,1,2,...} und X*Y={(x_i*y_i): i=0,1,2,...}, die gezeigt werden können, um konvergent zu sein. Für mehr auf diesem reale Zahlen als Cauchy Reihenfolgen sehen.

Obgleich komplizierter, erbringen diese Ansätze nichts anders als die verhältnismäßig naive Annäherung der endlosen Reihenfolgen der vorher dargestellten Stellen. Der Gewinn dieser anderen Definitionen ist in der Härte und im Provability von Vorschlägen.

Der Satz von Transcendental Zahlen

Es ist außerordentlich schwierig, zu prüfen, dass eine spezifische Zahl, wie π, transcendental ist. In der Tat können praktisch alle transcendental Zahlen nicht sogar spezifiziert werden. Es gibt jedoch ein nützliches Resultat, das wurde entdeckt unabhängig vom russischen Mathematiker Aleksandr Gelfond und vom deutschen Mathematiker Theodor Schneider 1934 war. Dieses Resultat, genannt das Gelfond-Schneider Theorem, sagt das

wenn α ist, ist eine algebraische Zahl anders als 0 oder 1 und β eine vernunftwidrige algebraische Zahl dann α β ist transcendental; d.h. nicht-algebraisch.

If α is an algebraic number other than 0 or 1, and β is an irrational algebraic number then α^β is transcendental; i.e., non-algebraic.

So wird das Hilbert Problem von, ob 2√2 transcendental ist, durch das Gelfond-Schneider Theorem gelöst. Die Nr. 2 ist algebraisch und √2 ist eine vernunftwidrige algebraische Zahl. So ist^√2 2 transcendental. Ebenso ist^√3 2 transcendental, wie auch ist (√2)^√2.

Vor dem Resultat Gelfond und Schneiders war das Hauptresultat in diesem Feld ein Resultat, das von Karl Louis Ferdinand von Lindemann 1882 nachgewiesen wurde und von Karl Theodor Wilhelm Weierstrass 1885 generalisiert war. Lindemanns Resultat ist das für jede ungleich null algebraische Zahl β, eβ ist transcendental.

Das oben genannte schlägt eine Betrachtung aller transcendental Zahlen vor, die eine Darstellung in dem Gelfond-Schneider Theorem ausgedrückt haben; d.h. alle Zahlen x so, dass α und β sodass existiert x=α^β. Die Kardinalität solcher Zahlen ist

_0⁰

Dieses ist der Auftrag des Kontinuums.

Das Gelfond-Schneider Theorem beantragt komplizierte Zahlen außerdem, aber die ist eine andere Geschichte.