Quanto sopra è la somma delle frazioni che possono, con i metodi standard, essere espresse come singola frazione; cioè, un numero razionale.

Numeri algebrici

I numeri algebrici sono numeri che sono soluzioni alle equazioni polinomiali con i coefficenti di numero intero, quale √2, a cui è una soluzione x²-2 = 0. I numeri interi ed i numeri razionali sono casi speciali dei numeri algebrici. Anche se l'insieme dei numeri algebrici comprende molti numeri irrazionali come √2, esso non contiene tutti i numeri irrazionali. Per esempio, il π costante non è un numero algebrico. È denominato un numero transcendental; cioè, un numero reale che non è un numero algebrico. Ci sono soltanto alcuni numeri transcendental esperti. La base dei logaritmi naturali, e=2.71828182859045…, è altra esperta.

Potrebbe sembrare che ci fossero molti altri numeri algebrici che i numeri transcendental, ma realmente l'inverso è il caso. Ci è un più alto ordine dei numeri più transcendental di infinità che i numeri algebrici. La cardinalità dei numeri algebrici è ₀, lo stesso dei numeri naturali (numeri interi non negativi), numeri interi e numeri razionali. Ciò significa che la cardinalità dell'insieme dei numeri transcendental è la stessa di quella dell'insieme dei numeri reali, l'ordine della continuità.

Per dimostrare l'asserzione di cui sopra li ha lasciati in primo luogo considerare l'insieme di tutti i polinomi con i coefficenti di numero intero. Ciò è altrettanto generale quanto considerando i polinomi con i coefficenti di numero razionale perché uno può moltiplicare per i denominatori dei coefficenti razionali per ottenere i coefficenti di numero intero. L'insieme di tutti i polinomi di coefficente di numero intero è l'unione dell'insieme di tutte le tali equazioni lineari, le equazioni quadratiche, equazioni cubiche e così via.

La cardinalità dell'insieme di tutte le equazioni lineari di coefficente di numero intero è (z {0}) ×Z. Il coefficente principale di un polinomio non dovrebbe essere zero. La cardinalità dell'insieme di tutte le equazioni lineari è
₀×₀=₀

Inoltre la cardinalità dell'insieme di tutte le equazioni quadratiche di numero-coefficente è ₀×₀×₀ = ₀. La cardinalità di tutti i ennesimi polinomi di grado è similmente ₀.

Tutto il ennesimo polinomio di grado ha al massimo radici distinte di n. Di conseguenza la cardinalità dell'insieme delle radici di tutti i ennesimi polinomi di grado è al massimo n×₀=₀. Così la cardinalità dell'insieme delle radici a tutti i polinomi di numero-coefficente è al massimo

₀+₀+₀+... =
₀×₀ = ₀
 

L'insieme di tutte le tali radici è notevolmente numerabile.

Se i coefficenti sono permessi essere radici dei polinomi di numero-coefficente la cardinalità dell'insieme delle radici è ancora ₀. Così ampliando l'insieme dei coefficenti non otteniamo mai un insieme che abbia una cardinalità più maggior di ₀

Definizione assiomatica dei numeri reali

Questo metodo ai numeri reali usa undici assiomi per definire un campo ordinato completo, i numeri reali. Lasciato (S, +, *, <) essere un insieme e due funzionano, + e *, denominato aggiunta e moltiplicazione, rispettivamente e un rapporto di ordine <, che è una funzione booleana. Le funzioni solitamente sono denominate funzionamenti e sono rappresentate nella notazione di infisso, ma sono nient'altro che funzioni binarie speciali. I primi otto assiomi definiscono un campo:

• Closedness dell'aggiunta e della moltiplicazione: Se la a e la b appartengono alla S allora in modo da fa a+b e a*b.
• Associativity:
  Se la a, la b e la c allora appartengono alla S
  a + (b + c) = (a + b) + c
  a* (b*c) = (a*b)*c
• Commutativity dell'aggiunta e della moltiplicazione:
  a + b = b + a
  a*b = b*a
• Distributivity di moltiplicazione sopra l'aggiunta:
  Se la a, la b e la c appartengono al a* di S allora (b + c) = a*b + a*c.
• Identità cumulative e moltiplicative
  Esce due membri della S, di 0 e di 1, tale che
  per il tutto un'appartenenza alla S, a + 0 = a
  e a*1 = A.
• Inversi cumulativi:
  Per l'ogni un'appartenenza alla S là esiste un elemento della S, dice la b, tale che a + b = 0. L'elemento b è denotato solitamente - a.
• Inversi moltiplicativi:
  Per l'ogni un'appartenenza alla S tranne l'identità cumulativa 0 là esiste un elemento della S, dice la b, tale che a*b = 1. L'elemento b è solitamente a-1 denotato.
• Trichotomy:
  Se la a e la b appartengono alla S a < b o b < a o a=b.
• Transitività del rapporto di ordine:
  Se a < b e b < c allora a < C.
• Isotony del rapporto di ordine:
  Se a < b allora per tutta la c che appartiene allo S.A. + c < b +c.
  Se a < b e 0 < a*c di c allora < b*c.
• Completamento:
  Se T è un sottoinsieme della S con un limite superiore b che appartiene alla S tali che per il tutto un'appartenenza a T, a < b, quindi esiste un meno limite superiore a T; cioè, un elemento c che appartiene alla S tali che la c è inferiore o uguale a ogni limite superiore del T.

Deve essere indicato che quello l'insieme delle sequenze infinite delle cifre soddisfa questi assiomi. Ciò non è insignificante. Notare ancora che per la maggior parte dei numeri razionali ci sono due sequenze infinite che rappresentano lo stesso numero reale. Per esempio, l'identità moltiplicativa 1 può essere rappresentata come 1.000… e 0.999….

Considerare come rappresentare la somma delle due sequenze 0.a₁a₂a₃... e 0.b.₁b₂b₃... Se le sequenze si concludessero allora la somma potrebbe definito in termini di cominciare con le cifre di estrema destra ed espressione della somma in termini di funzionamento di trasporto. Per le sequenze senza fine questa procedura non è disponibili. Così poiché non possiamo scrivere √2 o √3 è ancor meno possibile scrivere √2+√3. La definizione del a*b sarebbe ancora più dura.

Ada quello superiore può vedere perché la definizione convenzionale nella matematica dei reals è in termini di che cosa sono denominati tagli di Dedekind. Un'altra definizione è in termini di che cosa sono denominati sequenze di Cauchy.

In termini di sequenze di Cauchy un numero reale è una sequenza di convergenza. Ora la definizione della somma e del prodotto è facile. Se la X={x_i: i=0,1,2,...} e Y={y_i: i=0,1,2,...} sono due sequenze convergenti allora la somma ed il prodotto sono semplicemente le sequenze X+Y={(x_i+y_i): i=0,1,2,...} e X*Y={(x_i*y_i): i=0,1,2,...}, che possono essere indicati per essere convergenti. Per più su questo vedere i numeri reali come sequenze di Cauchy.

Anche se più complesso questi metodi non rendono niente tranne il metodo relativamente ingenuo delle sequenze infinite delle cifre precedentemente presentate. Il guadagno di queste altre definizioni è nel rigore e nel provability delle proposte.

L'insieme dei numeri transcendental

È eccessivamente difficile da dimostrare che un numero specifico, quale π, è transcendental. Effettivamente, virtualmente tutti i numeri transcendental non possono neppure essere specificati. Ci è tuttavia un risultato utile che era è stato scoperto indipendente dal matematico russo Aleksandr Gelfond e dal matematico tedesco Theodor Schneider in 1934. Questo risultato, denominato il teorema dello Gelfond-Schneider, dice quello

se il α è un numero algebrico tranne 0 o 1 e β è un numero algebrico irrazionale allora α^β è transcendental; cioè, non-algebrico.

Così il problema di Hilbert di indipendentemente da fatto che 2^√2 è transcendental è risolto dal teorema dello Gelfond-Schneider. Il numero 2 è algebrico e √2 è un numero algebrico irrazionale. Così 2^√2 sono transcendental. Inoltre 2^√3 sono transcendental, come è inoltre (√2)^√2.

Prima del risultato di Gelfond e di Schneider il risultato principale in questo campo era un risultato provato da Carl Louis Ferdinand von Lindemann in 1882 e generalizzato da Karl Theodor Wilhelm Weierstrass in 1885. Il risultato del Lindemann è quello per tutto il numero algebrico diverso da zero β, eβ è transcendental.

Quanto sopra suggerisce una considerazione di tutti i numeri transcendental che hanno una rappresentazione in termini di teorema dello Gelfond-Schneider; cioè, tutti i numeri x tali che esiste α e β tali che x=α^β. La cardinalità di tali numeri è

_0⁰

Ciò è l'ordine della continuità.

Il teorema dello Gelfond-Schneider fa domanda per i numeri complessi pure, ma quella è una storia differente.