问题怎样定义实数不是简单的。 一些在线想要辨认实数与点。 但是这在几何之外领土不是令人满意的。 这个问题的最佳的决议似乎是通过采取一个实数减少这个问题作为整数的总和和实数在0和1之间; 即，间隔时间[0,1)。 换句话说，一个实数是整数和一个十进分数。 实数在间隔时间[0,1)是然后数字无穷序列与这个供应那这个形式.500000的无穷序列…. 并且.4999999…. 代表同一个实数。 因而实数[0,1)是数字无穷序列相等类。

描述数字无穷序列另一个方式， {0,1,2，…， 9}，是作为一个作用从自然整数， {1,2，….}，对套数字({0,1,2，…， 9}。 这套的基数作用是
10^₀, 10被上升到力量 ₀. 这个基数是相当于2被上升到力量 ₀，是连续流的等级通常表示法。 这个事实有所有终止的十进分数的二个表示法根本不影响这个基数。

有理数在reals之中不是仅在不尽的串终止0或9的那些。 介入数字块重复在一些点之外的所有实数是合理的。 例如， 0.33333…是1/3。 并且， 0.142857142857…. 是1/7。

一般要建立这个提议假设我们有一定数量的这个形式0.abbb… a是p数字的地方串，并且b是q数字串。 然后这个数字是

ax10^-p+10^-p[bx10^-q+bx10^-2q+bx10^-q+...] =
a/10^p + (b/10^p)(1/10^q)[1+1/10^q+(1/10^q)²+...] =
a/10^p + (b/10^p)(1/10^q)/[1-1/10^q] =
a/10^p + (b/10^p)/[10^q-1] =
a/10^p + b/(10^p+q-10^p). ...........................
 

以上是可能，由标准方法，被表达作为一个唯一分数分数的总和; 即，一个有理数。

代数数

代数数是解答到多项等式与整数系数，例如√2，是一种解答对x-2 =² 0的数字。 整数和有理数是代数数特殊情况。 虽然套代数数包括许多无理数，如√2，它不包含所有无理数。 例如，恒定的π不是代数数。 它称超越数; 即，不是代数数的一个实数。 有仅几熟悉的超越数。 自然对数， e=2.71828182859045的基地…，是另一熟悉一个。

也许看起来比超越数有许多代数数，但是实际上相反是实际情形。 比代数数有高次无限超越数。 代数数的基数是 ₀，同自然数(非负整数)一样，整数和有理数。 这意味着套的基数超越数是相同的象那套实数，连续流的命令。

要证明上述主张首先让我们考虑套所有多项式与整数系数。 因为一个可能乘以合理的系数分母得到整数系数，这是正一般的象考虑多项式与有理数系数。 套所有整数系数多项式是套的联合所有这一类线性方程，二次方程，三次方程等等。

套的基数所有整数系数线性方程是(Z- {0}) ×Z。 多项式的主导的系数不应该是零。 套的基数所有线性方程是
₀×₀=₀

同样套的基数所有整数系数二次方程是 ₀×₀×₀ = ₀。 同样所有第n个程度多项式的基数是 ₀。

所有第n个程度多项式有至多n分明根。 所以套的基数所有第n个程度多项式根是至多 n×₀=₀。 因而套的基数根到所有整数系数多项式是至多

₀+₀+₀+... =
₀×₀ = ₀
 

卓越地套所有这一类根是可数的。

如果系数允许是整数系数多项式根套的基数根仍然是 ₀。 因而通过扩展套系数我们从未得到有一个基数很大地比_0的 集合

实数的公理定义

对实数的这种方法使用十一个公理定义完全有序域，实数。 让(S， +， *， <)是集合和二起作用， +和*，叫加法和增殖，分别和次序关系<，是布尔函数。 作用在中缀表示法通常称操作并且代表，但是他们是没什么更比特别二进制作用。 前八个公理定义了一个领域：

• 加法和增殖的Closedness ： 如果a和b属于S然后，因此做a+b和a*b。
• Associativity ：
  如果a、b和c然后属于S
  a + (b + c) = (a + b) + c
  a* (b*c) = (a*b)*c
• 加法和增殖Commutativity ：
  a + b = b + a
  a*b = b*a
• 增殖Distributivity在加法：
  如果a、b和c属于S然后a* (b + c) = a*b + a*c。
• 叠加性和乘身分
  那里退出二名成员的S， 0和1，这样
  为所有一属于S， a + 0 = a
  并且a*1 = a。
• 叠加性反面：
  为每一属于那里S存在S的元素，说b，这样a + b = 0。 这个元素b通常表示- a。
• 乘反面：
  为每一属于除叠加性身分0之外的S那里存在S的元素，说b，这样a*b = 1。 这个元素b通常是表示的a-1。
• 三分法：
  如果a和b属于S a < b或者b < a或者a=b。
• 次序关系的及物性：
  如果a < b和b < c然后a < c。
• 次序关系的Isotony ：
  如果a < b然后为属于S的所有c a + c < b +c。
  如果a < b和0 < c然后a*c < b*c。
• 完成：
  如果T是S的一个子集与属于S的一个最高界面b这样为所有一属于T， a < b，则那里存在最少最高界面到T; 即，属于S的元素c这样c是小于或等于T.每个最高界面。

必须显示它那套数字无穷序列满足这些公理。 这不是琐细的。 再注意为多数有理数有代表同一个实数的二个无穷序列。 例如，这个乘身分1可以代表作为1.000…和0.999….

考虑如何代表二个序列0.a和0.b.的₁a₂a₃... 总和。₁b₂b₃... 如果序列结束了那么这个总和可能定义根据开始以最右的数字和表达这个总和根据运载操作。 为无止境的序列这个做法不是可利用的。 因而，因为我们不可能写出√2或√3写出√2+√3.是不太可能的。 定义a*b是更加坚硬的。

从上述一个能看到正式定义在reals的数学为什么是根据什么叫Dedekind裁减。 另一个定义是根据什么称Cauchy序列。

根据Cauchy序列一个实数是汇合序列。 现在总和和产品的定义是容易。 如果X={x_i: i=0,1,2,...} 和Y={y_i: i=0,1,2,...} 是二个会聚序列那么这个总和和产品是序列X+Y={(x_i+y_i): i=0,1,2,...} 和X*Y={(x_i*y_i): i=0,1,2,...}，可以证明是会聚。 为更多在此看实数当Cauchy序列。

虽然更加复杂这些方法什么都不产生除数字无穷序列之外相对地天真方法以前被提出的。 这些其他定义获取在严厉和提议的可证迷。

套超越数

证明是极为难的，一个具体数字，例如π，是卓越的。 的确，实际上所有超越数不可能甚而指定。 然而有1934年是独立地由俄国数学家Aleksandr Gelfond和德国数学家Theodor谢德发现的一个有用的结果。 这个结果，称Gelfond谢德定理，说那

如果α是除0或1之外的代数数和β是不合理的代数数然后 α^β 是卓越的; 即，非代数。

因而Hilbert问题2√2是否是卓越的是由Gelfond谢德定理解决的。 第2是代数的，并且√2是不合理的代数数。 因而2√2是卓越的。 同样2√3是卓越的，和也(^√2)√2。

1882年1885年在Gelfond和谢德之前的结果主要结果在这个领域是卡尔・证明由卡尔・路易斯・费迪南德・冯Lindemann和推断的一个结果Theodor Wilhelm Weierstrass。 Lindemann的结果是那为所有非零代数数β， eβ是卓越的。

以上建议有一个表示法根据Gelfond谢德定理所有超越数的考虑; 即，所有第x这样那里存在α和β这样x。=α^β 基数的这样数字是

_0⁰

这是连续流的命令。

Gelfond谢德定理申请复杂形势，但是那是一个不同的故事。