above być suma frakcja che móc, standardowy metoda, wyrażać gdy pojedynczy frakcja; i.e., rozsądny liczba.

Algebraiczny Liczba

Algebraiczny liczba być liczba che być rozwiązanie wielomian równanie z integer współczynnik, tak jak √2, che być rozwiązanie x²-2 = 0. Integers i rozsądny liczba być specjalny skrzynka algebraiczny liczba. Chociaż set algebraiczny liczba zawierać wiele irracjonalistyczny liczba jakby √2, ono zawierać wszystkie irracjonalistyczny liczba. Na przykład, stały π być algebraiczny liczba. Ono dzwonić nadzmysłowy liczba; i.e., istny liczba che być algebraiczny liczba. Tam  być tylko tylko znajomy nadzmysłowy liczba baza naturalny logarytm, e=2.71828182859045…, być inny znajomy jeden.

Ono można że tam  być jeszcze więcej algebraiczny liczba nadzmysłowy liczba, ale właściwie odwrotność być skrzynka. Tam  być wysoki rozkaz nieskończoność nadzmysłowy liczba algebraiczny liczba. Cardinality algebraiczny liczba być ₍₀₎, to samo naturalny liczba (naturalny integers), integers i rozsądny liczba. Kontinuum znaczyć że cardinality set nadzmysłowy liczba być kontinuum to set istny liczba, rozkaz kontinuum.

współczynnik twierdzenie pozwalać najpierw set wszystkie wielomian z integer współczynnik. Współczynnik być właśnie równie generał równie wielomian z rozsądny liczba współczynnik ponieważ jeden móc mianownik rozsądny współczynnik integer współczynnik. Set wszystkie integer współczynnik wielomian być zjednoczenie set wszystkie taki liniowy równanie, liniowy równanie, kubiczny równanie i w ten sposób dalej.

cardinality set wszystkie integer współczynnik liniowy równanie być (Z- {(0)}) ×Z. Wiodący współczynnik wielomian musieć zero. Cardinality set wszystkie liniowy równanie być
₀×₀=₀

Być cardinality set wszystkie integer-współczynnik wszystkie równanie być ₀×₀×₀ = ₀. Podobnie cardinality wszystkie wszystkie stopień wielomian być ₍₀₎.

Jakaś jakaś stopień wielomian mieć przy najwięcej n odrębny korzeń. Tym samym cardinality set korzeń wszystkie wszystkie stopień wielomian być przy najwięcej n×₀=₀. Tak cardinality set korzeń wszystkie integer-współczynnik wielomian być przy najwięcej

₀+₀+₀+... =
₀×₀ = ₀
 

Znacząco set wszystkie taki korzeń być taki.

Jeżeli współczynnik pozwolić korzeń integer-współczynnik wielomian cardinality set korzeń być wciąż ₍₀₎. Tak set współczynnik my nigdy dostawać set który mieć cardinality większy niż ₍₀₎

Aksjomatyczny Definicja Istny Liczba

Ten podejście istny liczba używać jedenaście aksjomat zupełny rozkazywać pole, real liczba. Pozwalać (S, +, *, <) być set i dwa funkcjonować, + i *, nazwany dodatek i mnożenie, odpowiednio, i rozkaz powiązanie <, che być odpowiednio funkcja. Funkcja zazwyczaj dzwonić operacja i reprezentować w infiks notacja, ale być być więcej niż specjalny binarny funkcja. Pierwszy osiem aksjomat definiować pole:

• Closedness Dodatek i Mnożenie: Jeżeli i B należeć S wtedy więc robić a+b i a*b.
• Associativity:
  Jeżeli, a, b, i c należeć S wtedy
  a + (b + c) = (a + b) + c
  a*(b*c) = (a*b)*c
• Commutativity Dodatek i Mnożenie:
  a + b = b + a
  a*b = b*a
• Distributivity Mnożenie Nad Dodatek:
  Jeżeli, b, i c należeć S wtedy a* (b + c) = a*b + a*c.
• Przyłączeniowy i Przyłączeniowy Tożsamość
  Tam  wychodzić dwa członek S, (0) i (1), że
  dla wszystkie należenie S, a + (0) = a
  i a*1 = a.
• Przyłączeniowy Inverses:
  Dla istnieć należenie S tam  istnieć element S, mówić b, taki że, a + b = (0). Element b zazwyczaj denoted -a.
• Multiplicative Inverses:
  Dla istnieć a należenie S istnieć przyłączeniowy tożsamość (0) tam  istnieć element S, mówić b, (0) że a*b = 1. element B być zazwyczaj zazwyczaj a^-1.
• Trychotomia:
  Jeżeli a i b należeć S lub a<b lub b<a lub a=b.
• Transitivity Rozkaz Powiązanie:
  Jeżeli a<b i b<c wtedy a<c.
• Isotony Rozkaz Powiązanie:
  Jeżeli a<b wtedy dla wszystkie c należeć S. a+c < b +c.
  Jeżeli s<b i (0)<c wtedy a*c <b*c.
• Ukończenie:
  Jeżeli T być podzbiór S z wierzch obszyty b S taki że dla wszystkie należenie T, a<b, n tam  istnieć mały górny granica T; i.e., element c S taki że c być less lub równy każdy górny granica T.

Ono musieć pokazywać że aksjomat set nieskończony sekwencja cyfra satysfakcjonować te aksjomat. To być trywialny. Zauważać znowu zauważać dla najwięcej rozsądny liczba tam  być dwa nieskończony sekwencja który reprezentować ten sam istny liczba. Na przykład, na przykład tożsamość (1) móc reprezentować jako 1.000… i 0.999….

Rozważać dlaczego suma dwa sekwencja 0.a₁a₂a₃... i 0.b₁b₂b₃.... Jeżeli sekwencja kończyć wtedy suma móc pod względem z wtedy cyfra i suma pod względem nieść operacja. Dla bez końca sekwencja ten procedura być dostępny. Tak ponieważ my móc tak √2 lub √3 ono być wyrównywać mniej ewentualny ewentualny √2+√3. Precyzowanie a*b być nawet ciężki.

Od cięcie jeden móc dlaczego formalny definicja w matematyka real być pod względem jeden dzwonić Dedekind Cięcie. Inny definicja być pod względem sekwencja dzwonić Cauchy sekwencja.

Pod względem Cauchy sekwencja istny liczba być konwergencja sekwencja. Teraz definicja suma i produkt być łatwy. Jeżeli X={x_i: i=0,1,2,...} i Y={y_i: i=0,1,2,...} być dwa zbieżny sekwencja wtedy suma i produkt być po prostu sekwencja X+Y={(x_i+y_i): i=0,1,2,...} i X*Y={(x_i*y_i): i=0,1,2,...}, che móc pokazywać zbieżny. Dla sekwencja na sekwencja widzieć Istny Liczba jako Cauchy Sekwencja.

Chociaż więcej kompleks te podejście poddawać się cyfra cyfra stosunkowo naiwny podejście nieskończony sekwencja cyfra poprzednio przedstawiać. Zysk te inny definicja być w rygor i provability propozycja.

Set Nadzmysłowy Liczba

Ono być niezmiernie trudny że odmianowy liczba, tak jak π, być nadzmysłowy. Naprawdę, praktycznie wszystkie nadzmysłowy liczba móc nawet precyzować. Tam  być jeden pożytecznie rezultat che być odkrywać niezależnie Rosyjski matematyczka Aleksandr Gelfond i Niemiecki matematyczka odor Schneider w 1934. Ten rezultat, nazwany Gelfond-Schneider Teoremat, mówić to

jeżeli α być algebraiczny liczba wtedy (0) lub (1), i β być irracjonalistyczny algebraiczny liczba wtedy α^β być nadzmysłowy; i.e., non-algebraiczny.

Tak Hilbert Problem czy tak czy nie 2^√2 być nadzmysłowy rozwiązywać Gelfond-Schneider Teoremat. Liczba 2 być algebraiczny i √2 być irracjonalistyczny algebraiczny liczba. Tak 2^√2 być nadzmysłowy. Być 2^√3 być nadzmysłowy, być także (√2)^√2.

Przed rezultat Gelfond i Schneider ważny rezultat w ten pole być rezultat udowadniać Carl Louis Ferdinand von Lindemann w 1882 i generalizować Karl Theodor Wilhelm Weierstrass w 1885. Lindemann's rezultat być eβ dla jakaś jakaś algebraiczny liczba β, eβ być nadzmysłowy.

above sugerować rozważanie wszystkie nadzmysłowy liczba che mieć przedstawicielstwo pod względem Gelfond-Schneider Teoremat; i.e., wszystkie liczba x x że tam  istnieć α i β że że x=α^β. Cardinality taki liczba być

_0⁰

Kontinuum być rozkaz kontinuum.

Gelfond-Schneider Teoremat stosować dla powikłany liczba także, ale liczba być różny opowieść.