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La naturaleza de los números verdaderos

La materia de cómo definir los números verdaderos no es simple. Algunos quieren identificar los números verdaderos con los puntos en una línea. Pero esto no es satisfactorio fuera del reino de la geometría. La mejor resolución del problema parece ser reducir el problema tomando un número verdadero como la suma de un número entero y los números verdaderos entre 0 y 1; es decir, el intervalo [0.1). Es decir un número verdadero es un número entero y una fracción decimal. Los números verdaderos en el intervalo [0.1) son entonces secuencias infinitas de dígitos con la disposición esa las secuencias infinitas de la forma .500000…. y .4999999…. representar el mismo número verdadero. Así los números verdaderos adentro [0.1) son clases de equivalencia de secuencias infinitas de dígitos.

Otra manera de describir secuencias infinitas de dígitos, {0.1.2,…, 9}, está como función de los números enteros naturales, {1.2,….}, al sistema de dígitos ({0.1.2,…, 9}. La cardinalidad de este sistema de funciones es
100, 10 raised to the power 0. This cardinality is equivalent to 2 raised to the power 0, which is the usual representation of the order of the continuum. The fact that there are two representations of any terminating decimal fraction does not affect the cardinality at all.

The rational numbers among the reals are not just those that terminate in an endless string of 0's or 9's. Any real number that involves the repetition of a block of digits beyond some point is a rational. For example, 0.33333... is 1/3. Also, 0.142857142857.... is 1/7.

To establish this proposition in general suppose we have a number of the form 0.abbb... where a is string of p digits and b is a string of q digits. Then this number is


ax10-p+10-p[bx10-q+bx10-2q+bx10-q+...] =
a/10p + (b/10p)(1/10q)[1+1/10q+(1/10q)2+...] =
a/10p + (b/10p)(1/10q)/[1-1/10q] =
a/10p + (b/10p)/[10q-1] =
a/10p + b/(10p+q-10p). ...........................
 

El antedicho es la suma de fracciones que se puedan, por métodos estándar, expresar como sola fracción; es decir, un número racional.

Números algébricos

Los números algébricos son los números que son soluciones a las ecuaciones polinómicas con coeficientes del número entero, tales como √2, a el cual es una solución x²-2 = 0. Los números enteros y los números racionales son casos especiales de números algébricos. Aunque el sistema de números algébricos incluya muchos números irracionales como √2, él no contiene todos los números irracionales. Por ejemplo, el π constante no es un número algébrico. Se llama un número trascendental; es decir, un número verdadero que no es un número algébrico. Hay solamente algunos números trascendentales familiares. La base de los logaritmos naturales, e=2.71828182859045…, es otra familiar.

Puede ser que parezca que hay muchos más números algébricos que números trascendentales, pero el revés es realmente el caso. Hay una orden más alta de números más trascendentales del infinito que números algébricos. La cardinalidad de los números algébricos es 0, igual que los números naturales (números enteros no negativos), números enteros y números racionales. Esto significa que la cardinalidad del sistema de números trascendentales es igual que la del sistema de números verdaderos, la orden de la serie continua.

Para probar la aserción antedicha nos dejó primero considerar el sistema de todos los polinomios con coeficientes del número entero. Esto es apenas tan general como considerando polinomios con coeficientes del número racional porque uno puede multiplicarse por los denominadores de coeficientes racionales para conseguir coeficientes del número entero. El sistema de todos los polinomios del coeficiente del número entero es la unión del sistema de todas tales ecuaciones lineares, ecuaciones cuadráticos, ecuaciones cúbicas y así sucesivamente.

La cardinalidad del sistema de todas las ecuaciones lineares del coeficiente del número entero es (z {0})×Z. El coeficiente principal de un polinomio no debe ser cero. La cardinalidad del sistema de todas las ecuaciones lineares es
0×0=0

Likewise the cardinality of the set of all integer-coefficient quadratic equations is 0×0×0 = 0. La cardinalidad de todos los n-th polinomios del grado es semejantemente 0.

Cualquier n-th polinomio del grado tiene a lo más raíces distintas de n. Por lo tanto la cardinalidad del sistema de las raíces de todos los n-th polinomios del grado está a lo más n×0=0. Así la cardinalidad del sistema de raíces a todos los polinomios del número-coeficiente está a lo más


0+0+0+... =
0×0 = 0
 

El sistema de todas tales raíces es notable contable.

Si los coeficientes se permiten ser raíces de los polinomios del número-coeficiente la cardinalidad del sistema de raíces sigue siendo 0. Así ampliando el sistema de coeficientes nunca conseguimos un sistema que tenga una cardinalidad mayor de 0

La definición axiomática de números verdaderos

Este acercamiento a los números verdaderos utiliza once axiomas para definir un campo pedido completo, los números verdaderos. Dejado (S, +, *, <) ser un sistema y dos funcionan, + y *, llamado adición y multiplicación, respectivamente, y una relación de orden <, que es una función boleana. Las funciones se llaman las operaciones y se representan generalmente en la notación de infijo, pero no son nada las funciones binarias más que especiales. Los primeros ocho axiomas definen un campo:

Debe ser demostrado que ése el sistema de secuencias infinitas de dígitos satisface estos axiomas. Esto no es trivial. Observar otra vez que para la mayoría de los números racionales hay dos secuencias infinitas que representan el mismo número verdadero. Por ejemplo, la identidad multiplicativa 1 se puede representar como 1.000… y 0.999….

Considerar cómo representar la suma de las dos secuencias 0.a1a2a3… y 0.b1b2b3…. Si las secuencias terminaron entonces la suma podría definido en términos de comenzar con los dígitos de derecha y expresión de la suma en términos de operación del llevar. Para las secuencias interminables este procedimiento no están disponibles. Así puesto que no podemos poner √2 o √3 en escrito es incluso menos posible poner √2+√3. en escrito. La definición del a*b sería incluso más dura.

El antedicho puede ver porqué la definición formal en las matemáticas de los reals está en términos de lo que se llaman los cortes de Dedekind. Otra definición está en términos de qué se llaman las secuencias de Cauchy.

En términos de secuencias de Cauchy un número verdadero es una secuencia de la convergencia. Ahora la definición de la suma y del producto es fácil. Si X={xi: i=0,1,2,...} y Y={yi: i=0,1,2,...} son dos secuencias convergentes entonces la suma y el producto son simplemente las secuencias X+Y={(xi+yi): i=0,1,2,...} y X*Y={(xi*yi): i=0,1,2,...}, que se pueden demostrar para ser convergentes. Para más en esto ver los números verdaderos como secuencias de Cauchy.

Aunque sea más complejo estos acercamientos no rindan nada con excepción del acercamiento relativamente ingenuo de secuencias infinitas de dígitos presentados previamente. El aumento de estas otras definiciones está en rigor y el provability de asuntos.

El sistema de números trascendentales

Es excesivamente difícil probar que un número específico, tal como π, es trascendental. De hecho, virtualmente todos los números trascendentales no pueden incluso ser especificados. Hay sin embargo un resultado útil que era fue descubierto independiente por el matemático ruso Aleksandr Gelfond y el matemático alemán Theodor Schneider en 1934. Este resultado, llamado el teorema de Gelfond-Schneider, dice eso

Si es el α un número algébrico con excepción de 0 o de 1, y β es un número algébrico irracional entonces αβ es trascendental; es decir, no-algebraico.

Así el problema de Hilbert de independientemente de si 2√2 es trascendental es solucionado por el teorema de Gelfond-Schneider. El número 2 es algebraico y √2 es un número algébrico irracional. Así 2√2 es trascendental. Asimismo 2√3 es trascendental, como está también (<√2)√2.

Antes del resultado de Gelfond y de Schneider el resultado principal en este campo era un resultado probado por Carl Louis Fernando von Lindemann en 1882 y generalizado por Karl Theodor Wilhelm Weierstrass en 1885. El resultado de Lindemann es ése para cualquier número algébrico diferente a cero β, eβ es trascendental.

El antedicho sugiere una consideración de todos los números trascendentales que tengan una representación en términos de teorema de Gelfond-Schneider; es decir, todos los números x tales que existe α y β tales que x=αβ. La cardinalidad de tales números es

00

Ésta es la orden de la serie continua.

El teorema de Gelfond-Schneider solicita números complejos también, pero eso es una diversa historia.


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