Het derivaat van de Tijd van een Vector
in een Roterend Gecoördineerd Systeem

Nota: In het volgende is het typografische onderscheid tussen vectoren en scalars dat een vector in rood wordt getoond. Dit onderscheid heeft een visuele invloed maar de aard van een variabele blijkt gewoonlijk duidelijk gemakkelijk uit de context waarin het wordt gebruikt.

Overweeg twee gecoördineerd systemen, één een vast (traagheids) rechthoekig systeem met eenheidsvectoren I, J en K, andere het roteren op de oppervlakte van een gebied van straal R. De laatstgenoemde heeft eenheidsvectoren i, j en k. Het gebied roteert aan een constant tarief van Ω. In het traagheids gecoördineerde systeem de omwentelingsvector is ΩK. In het roterende gecoördineerde systeem, waar eenheidsvector i aan het oosten is, is de eenheid vector j aan het noorden en de eenheid vector k is verticaal normaal aan de oppervlakte, heeft de omwenteling vector Ω de vertegenwoordiging

Ω = Ωcos(φ) j + Ωsin(φ) k
 

waar φ de breedtehoek is.

Willekeurige vector A heeft vertegenwoordiging in beide gecoördineerde systemen; d.w.z.,

A = A_x I + A_yJ + A_zK
A = A'_x i + A'_yj + A'_zk
 

Wanneer het overwegen van de verandering in vectora met tijd is het essentiële verschil tussen de twee gecoördineerde systemen dat in het traagheidssysteem de eenheidsvectoren constant zijn terwijl in het roterende systeem zij niet zijn. Aldus,

dA/dt = (dA_x/dt)I + (dA_y/dt)J + (dA_z/dt)K
maar
dA/dt = (dA'_x/dt)i + (dA'_y/dt)j + (dA'_z/dt)k
+ A'_xdi/dt + A'_ydj/dt + A'_zdk/dt
 

De termijnen

(dA'_x/dt)i + (dA'_y/dt)j + (dA'_z/dt)k
 

vertegenwoordig het duidelijke tijdtarief van verandering van a in het roterende gecoördineerde systeem, dat als drA/dt kan worden aangeduid. Aldus

dA/dt = d_rAdt) + A'_xdi/dt + A'_ydj/dt + A'_zdk/dt
 

De derivaten van de Tijd van de Vectoren van de Eenheid van het Vliegtuig van de Raaklijn van een Roterend Gecoördineerd Systeem

Het punt van oorsprong van het gecoördineerde systeem van het raaklijnvliegtuig kan in termen van het traagheidskader of in rechthoekige coördinaten (x, y, z) worden uitgedrukt of sferische coördinaten (r, θ, φ), waar r de straal van het gebied is, is θ de lengte en φ is de breedte. Het verband tussen de twee vertegenwoordiging is:

x = rcos(φ)cos(θ)
y = rcos(φ)sin(θ)
z = rcos(φ)
 

De lokale verticale eenheid vector k bij (x, y, z) in termen van het traagheidskader is:

k = (x/r)I + (y/r)J + (z/r)K
so
dk/dt = (1/r)((dx/dt)I + (dy/dt)J + (dz/dt)K)
 

Aangezien r en φ en θ = Ωt constant zijn

dx/dt = -rcos(φ)sin(θ)(dθ/dt) = -rcos(φ)sin(θ)Ω
dy/dt = rcos(φ)cos(θ)(dθ/dt) = rcos(φ)cos(θ)Ω
dz/dt = 0.
 

Daarom

dk/dt = Ω[-cos(φ)sin(θ)I + cos(φ)cos(θ)J]
 

Enerzijds, is Ωx k gelijk aan de determinant:

|	I	J	K	|
|	0	0	Ω	|
|	(x/r)	(y/r)	(z/r)	|

 

welke aan vermindert

I((-y/r)Ω) - J((-x/r)Ω) + K(0)
= Ω((-y/r)I + (x/r)J)
maar
y/r = cos(φ)sin(θ) en x/r = cos(φ)cos(θ)
zo
Ω× k = dk/dt
 

De lokale oosten-richtende eenheidsvector die i in het traagheidskader heb uitgedrukt is

i = -sin(θ)I + cos(θ)J
en therefore
di/dt = -cos(θ)ΩI - sin(θ)ΩJ
= -Ω(cos(θ)I + sin(θ)J
 

Maar Ω×i, die door de determinant wordt gegeven

|	I	J	K	|
|	0	0	Ω	|
|	-sin(θ)	cos(θ)	0	|

 

vermindert aan I(-Ωcos(θ) - J(sin(θ) + K(0) welke het zelfde is zoals -Ω(cos(θ)I + sin(θ)J which is Ω×i. Zo,

di/dt = Ω×i
 

En definitief is er de lokale noorden-richtende eenheid vector j, die in het traagheidskader is uitdrukte

j = -sin(φ)cos(θ)I - sin(φ)sin(θ)J + cos(φ)K
en therefore
dj/dt = sin(φ)sin(θ)ΩI - sin(φ)cos(θ)ΩJ
Ω(sin(φ)sin(θ)I - sin(φ)cos(θ)J).
 

Maar Ωxj in bepalende vorm is

|	I	J	K	|
|	0	0	Ω	|
|	-sin(φ)cos(θ)	-sin(φ)cos(θ)	cos(φ)	|

 

welke aan vermindert

I(sin(φ)sin(θ)Ω - J(sin(φ)cos(θΩ) + K(0)
= Ω(sin(φ)sin(θ)I - sin(φ)cos(θ)J).
 

Maar dit het zelfde als DJ/dt zo

dj/dt = Ω× j.
 

De algemene Vorm van het Derivaat van de Tijd van een Vector

Het werd gevonden in de vorige sectie die voor een algemene vector

dA/dt = d_rA/dt + A'_xdi/dt + A'_ydj/dt + A'_zdk/dt
 

Als de tijdderivaten van de lokale eenheidsvectoren, Di/dt, DJ/dt en DK/dt, door hun waarden als Ωxi, Ωxj en Ωxk worden vervangen, en de omwenteling vectorΩ van de dwarsproducten factored is het resultaat:

dA/dt = d_rA/dt + Ωx(A'_xi + A'_yj + A'_zk)
 

welke niets buiten is

dA/dt = d_rA/dt + Ω×A

Dit zegt dat het tijdderivaat van een vector van zijn duidelijk tijdderivaat in het roterende kader plus de vector kan worden geconstrueerd die het vector dwarsproduct van de omwentelingsvector voor het kader en de vector zelf is. Er is aantal plaatsen in de literatuur waar de tijdderivaten van de vectoren van de eenheidsbasis worden afgeleid uit de bovengenoemde formule op basis van het argument dat dergelijke eenheidsvectoren enkel speciale gevallen van positievectoren zijn waarop de formule van toepassing is. Dit is in geldig omdat de formule uit de bepaling van de tijdderivaten van die basisvectoren moet worden afgeleid. De formule is natuurlijk op de basisvectoren maar van toepassing het is logisch gezien ongeldig om zijn toepassing aan de basisvectoren uit de formule zelf af te leiden.

De afleiding houdt strikt voor positievectoren en zijn uitbreiding tot asvectoren (vectoren zoals impulsmoment en torsie die vector dwarsproducten van positievectoren) zijn vereist extra analyse. Voor dit ziet uitbreiding AsVectoren.