Il derivato di tempo di un vettore
in un sistema coordinato di rotazione

Nota: In quanto segue la distinzione tipografica fra i vettori e gli scalari è che un vettore è indicato nel colore rosso. Questa distinzione ha un effetto visivo ma la natura di una variabile è solitamente prontamente confermata dal contesto in cui è usata.

Consideri due sistemi coordinati, uno che un sistema rettangolare (inerziale) fisso con l'unità vectors la I, J e K, l'altro che ruota sulla superficie di una sfera del raggio R. Il posteriore ha vettori dell'unità i, j e k. La sfera sta ruotando ad un tasso costante di Ω. nel sistema che coordinato inerziale il vettore di rotazione è ΩK. nel sistema coordinato di rotazione, in cui il vettore i dell'unità è all'est, il vettore j dell'unità è al nord ed il vettore k dell'unità è verticalmente normale alla superficie, il vettore Ω di rotazione ha la rappresentazione

Ω = Ωcos(φ)j + Ωsin(φ)k
 

dove il φ è l'angolo di latitudine.

Un vettore arbitrario A ha rappresentazioni in entrambi i sistemi coordinati; cioè,

A = A_x I + A_yJ + A_zK
A = A'_x i + A'_yj + A'_zk
 

Quando considerare il cambiamento nel vettore A con tempo la differenza cruciale fra i due sistemi coordinati è quello nel sistema inerziale i vettori dell'unità sono costanti mentre nel sistema di rotazione non sono. Quindi,

dA/dt = (dA_x/dt)I + (dA_y/dt)J + (dA_z/dt)K
but
dA/dt = (dA'_x/dt)i + (dA'_y/dt)j + (dA'_z/dt)k
+ A'_xdi/dt + A'_ydj/dt + A'_zdk/dt
 

I termini

(dA'_x/dt)i + (dA'_y/dt)j + (dA'_z/dt)k
 

rappresenti il tasso di tempo di cambiamento apparente di A nel sistema coordinato di rotazione, che può essere denotato come drA/distacco. Così

dA/dt = d_rAdt) + A'_xdi/dt + A'_ydj/dt + A'_zdk/dt
 

I derivati di tempo dei vettori dell'unità dell'aereo di tangente di un sistema coordinato di rotazione

Il punto dell'origine del sistema coordinato dell'aereo di tangente può essere espresso in termini di struttura inerziale o nelle coordinate rettangolari (x, y, z) o le coordinate sferiche (r, θ, φ), dove la r è il raggio della sfera, θ è la longitudine e il φ è la latitudine. Il rapporto fra le due rappresentazioni è:

x = rcos(φ)cos(θ)
y = rcos(φ)sin(θ)
z = rcos(φ)
 

Il vettore locale k dell'unità verticale a (x, y, z) in termini di struttura inerziale è:

k = (x/r)I + (y/r)J + (z/r)K
so
dk/dt = (1/r)((dx/dt)I + (dy/dt)J + (dz/dt)K)
 

Poiché le r e il φ sono costanti e θ = Ωt

dx/dt = -rcos(φ)sin(θ)(dθ/dt) = -rcos(φ)sin(θ)Ω
dy/dt = rcos(φ)cos(θ)(dθ/dt) = rcos(φ)cos(θ)Ω
dz/dt = 0.
 

Di conseguenza

dk/dt = Ω[-cos(φ)sin(θ)I + cos(φ)cos(θ)J]
 

D'altra parte, Ωxk è uguale al determinante:

|	I	J	K	|
|	0	0	Ω	|
|	(x/r)	(y/r)	(z/r)	|

 

a quale riduce

I((-y/r)Ω) - J((-x/r)Ω) + K(0)
= Ω((-y/r)I + (x/r)J)
but
y/r = cos(φ)sin(θ) and x/r = cos(φ)cos(θ)
so
Ωxk = dk/dt
 

Il vettore che est-indicante locale dell'unità ho espresso nel telaio inerziale è

i = -sin*θ)I + cos(θ)J
and therefore
di/dt = -cos(θ)ΩI - sin(θ)ΩJ
= -Ω(cos(θ)I + sin(θ)J<
 

Ma Ωxi, dato dal determinante

|	I	J	K	|
|	0	0	Ω	|
|	-sin(θ)	cos(θ)	0	|

 

riduce a I(-Ωcos(θ) - J(sin(θ) + K(0)quale è lo stesso come -Ω(cos(θ)I + sin(θ)J which is Ωxi.così,

di/dt = Ωxi
 

Ed infine ci è il vettore nord-indicante locale j dell'unità, che ha espresso nel telaio inerziale è

j = -sin(φ)cos(θ)I - sin(φ)sin(θ)J + cos(φ)K
and therefore
dj/dt = sin(φ)sin(θ)ΩI - sin(φ)cos(θ)ΩJ
Ω(sin(φ)sin(θ)I - sin(φ)cos(θ)J).
 

Ma Ωxj nella forma determinante è

|	I	J	K	|
|	0	0	Ω	|
|	-sin(φ)cos(θ)	-sin(φ)cos(θ)	cos(φ)	|

 

a quale riduce

I(sin(φ)sin(θ)Ω - J(sin(φ)cos(θΩ) + K(0)
= Ω(sin(φ)sin(θ)I - sin(φ)cos(θ)J).
 

Ma questo lo stessi del dj/distacco così

dj/dt = Ωxj.
 

La forma generale del derivato di tempo di un vettore

È stato trovato nella sezione precedente che per un vettore generale

dA/dt = d_rA/dt + A'_xdi/dt + A'_ydj/dt + A'_zdk/dt
 

Se i derivati di tempo dei vettori dell'unità del local, i Di/distacco, il dj/distacco e il dk/distacco, sono sostituiti dai loro valori mentre Ωxi, Ωxj e Ωxk ed il vettore Ω di rotazione scomposto dai prodotti trasversali il risultato è:

dA/dt = d_rA/dt + Ωx(A'_xi + A'_yj + A'_zk)
 

quale è nessuno tranne

dA/dt = d_rA/dt + ΩxA

Ciò dice che il derivato di tempo di un vettore può essere costruito dal relativo derivato apparente di tempo nel telaio di rotazione più il vettore che è il prodotto della traversa di vettore del vettore di rotazione per la struttura e del vettore in se. Ci è numero di posti nella letteratura in cui i derivati di tempo dei vettori di base dell'unità sono derivati dalla suddetta formula in base alla discussione che tali vettori dell'unità sono appena casi speciali dei vettori di posizione a cui la formula si applica. Ciò è in valido perché la formula deve essere derivata dalla determinazione dei derivati di tempo di quei vettori di base. La formula naturalmente si applica ai vettori di base ma è logicamente non valida derivare la relativa applicazione ai vettori di base dalla formula in se.

La derivazione tiene rigorosamente per i vettori di posizione e la relativa estensione ai vettori assiali (vettori quali quantità di moto angolare e coppia di torsione che sono prodotti trasversali di vettore dei vettori di posizione) richiede l'analisi supplementare. Per questa estensione veda i vettori assiali.