ベクトルの時間の派生物
回転座標系

注: 次でベクトルとスカラー間のタイプ区別はベクトルが赤で示されていることである。 この区別に視覚影響があるが、変数の性質は通常使用される文脈から容易に明白である。

2つの座標系、1単位ベクトルの固定(慣性の)長方形システム I、Jおよび Kを、半径R.の球の表面で回る他考慮しなさい。 後者単位ベクトルが i、j、k.ある。 球は慣性の座標系のΩの一定した率で北に単位ベクトルiが東にある。回転ベクトルがである回転座標系のΩK.、単位ベクトルjある回って、単位ベクトルkは表面に縦に正常、回転ベクトルΩ持っている表示をである

Ω = Ωcos(φ)j + Ωsin(φ)k
 

φが緯度の角度であるところ。

任意ベクトルAに両方の座標系で表示がある; すなわち、

A = A_x I + A_yJ + A_zK
A = A'_x i + A'_yj + A'_zk
 

時間のベクトルAの変更を2つの座標系間の重大な相違と考慮することが慣性装置にそれのとき単位ベクトルは回転システムにない一方一定している。 従って、

dA/dt = (dA_x/dt)I + (dA_y/dt)J + (dA_z/dt)K
but
dA/dt = (dA'_x/dt)i + (dA'_y/dt)j + (dA'_z/dt)k
+ A'_xdi/dt + A'_ydj/dt + A'_zdk/dt
 

言葉

(dA'_x/dt)i + (dA'_y/dt)j + (dA'_z/dt)k
 

drA/dtとして表示することができる回転座標系のAの変更の視太陽時率を表しなさい。 従って

dA/dt = d_rAdt) + A'_xdi/dt + A'_ydj/dt + A'_zdk/dt
 

回転座標系の接平面の単位ベクトルの時間の派生物

rが球の半径であるところに接平面の座標系の起源のポイントは直角座標(x、y、z)に慣性フレームによって表現することができるまたは球形の座標(r、θ、φ)は、θ経度であり、φは緯度である。 2つの表示間の関係は次のとおりである:

x = rcos(φ)cos(θ)
y = rcos(φ)sin(θ)
z = rcos(φ)
 

慣性フレームによるローカル縦の単位ベクトルkはの(x、y、z)次のとおりである:

k = (x/r)I + (y/r)J + (z/r)K
so
dk/dt = (1/r)((dx/dt)I + (dy/dt)J + (dz/dt)K)
 

rおよびφが一定しているおよびθ = Ωtであるので

dx/dt = -rcos(φ)sin(θ)(dθ/dt) = -rcos(φ)sin(θ)Ω
dy/dt = rcos(φ)cos(θ)(dθ/dt) = rcos(φ)cos(θ)Ω
dz/dt = 0.
 

従って

dk/dt = Ω[-cos(φ)sin(θ)I + cos(φ)cos(θ)J]
 

一方では、Ωxkは決定要因と等しい:

|	I	J	K	|
|	0	0	Ω	|
|	(x/r)	(y/r)	(z/r)	|

 

に減るかどれ

I((-y/r)Ω) - J((-x/r)Ω) + K(0)
= Ω((-y/r)I + (x/r)J)
but
y/r = cos(φ)sin(θ) and x/r = cos(φ)cos(θ)
so
Ωxk = dk/dt
 

私が慣性フレームに表現したローカル東指の単位ベクトルはある

i = -sin(θ)I + cos(θ)J
and therefore
di/dt = -cos(θ)ΩI - sin(θ)ΩJ
= -Ω(cos(θ)I + sin(θ)J<
 

しかし決定要因によって与えられるΩxi

|	I	J	K	|
|	0	0	Ω	|
|	-sin(θ)	cos(θ)	0	|

 

に減る -- I(-Ωcos(θ) - J(sin(θ) + K(0)同じはであるかどれ -- こうして -Ω(cos(θ)I + sin(θ)J which is Ωxi.として、

di/dt = Ωxi
 

そして慣性フレームにある表現したローカル北指の単位ベクトルjが最終的にある、

j = -sin(φ)cos(θ)I - sin(φ)sin(θ)J + cos(φ)K
and therefore
dj/dt = sin(φ)sin(θ)ΩI - sin(φ)cos(θ)ΩJ
Ω(sin(φ)sin(θ)I - sin(φ)cos(θ)J).
 

しかし限定的な形態のΩxjはある

|	I	J	K	|
|	0	0	Ω	|
|	-sin(φ)cos(θ)	-sin(φ)cos(θ)	cos(φ)	|

 

に減るかどれ

I(sin(φ)sin(θ)Ω - J(sin(φ)cos(θΩ) + K(0)
= Ω(sin(φ)sin(θ)I - sin(φ)cos(θ)J).
 

そうdj/dtとしかしこれ同じ

dj/dt = Ωxj.
 

ベクトルの時間の派生物の概要の形態

それは概要のベクトルのために前のセクションで見つけられた

dA/dt = d_rA/dt + A'_xdi/dt + A'_ydj/dt + A'_zdk/dt
 

Ωxi、ΩxjおよびΩxkおよび十字プロダクトから考慮される回転ベクトルΩが結果次のとおりであると同時にローカル単位ベクトルの時間の派生物が、ディディミアム/dt、dj/dtおよびdk/dt価値と、取替えられれば:

dA/dt = d_rA/dt + Ωx(A'_xi + A'_yj + A'_zk)
 

あるかどれが

dA/dt = d_rA/dt + ΩxA

これはベクトルの時間の派生物がフレームのための回転ベクトルおよびベクトル自体のベクトル十字プロダクトであるベクトルと回転フレームの視太陽時の派生物から組み立てることができると言う。 そのような単位ベクトルは方式が適用する位置ベクトルのちょうど特別な場合であること単位の基礎のベクトルの時間の派生物が議論に基づいて上記の方式から得られる文献の場所の数がある。 これは有効に方式がそれらの基礎のベクトルの時間の派生物の決定から得られなければならないのである。 方式は基礎のベクトルに当然適用するが、方式から基礎のベクトルに適用得るために論理的に無効自体をである。

派生は位置ベクトルのために厳しく握り、軸ベクトル(位置ベクトルのベクトル十字プロダクトである角運動量およびトルクのようなベクトル)への延長は付加的な分析を要求する。 この延長については軸ベクトルを見なさい。