산 José 주립 대학

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Thayer Watkins
실리콘 밸리
& 토네이도 골목
미국

벡터의 시간 유래물
자전 좌표계에서

주: 뒤에 오는 것에서 벡터와 스칼라 사이 인쇄 구별은 벡터가 빨강에서 보인다 이다. 이 구별에는 시각적인 충격이 있다 그러나 가변의 본질은 보통 사용되는 문맥에서 준비되어 있 명백하다.

2개의 좌표계, 것 단위 벡터에 조정 (관성) 직사각형 체계 I, JK를, 반경 R.의 구체의 표면에 자전하는 다른 사람 고려하십시오. 후자에는 단위 벡터가 i, j 및 k. 있다. 구체는 관성 좌표계에서 Ω의 일정한 비율으로 북에 단위 벡터 i가 동쪽에 있는. 교체 벡터가인 자전 좌표계에 있는 ΩK., 단위 벡터 j 있는 자전하고 있다 단위 벡터 k는 표면에 수직으로 정상적, 교체 벡터 Ω 있다 대표를이고


Ω = Ωcos(φ)j + Ωsin(φ)k
 

φ가 위도 각인 곳에.

임의 벡터 A에는 두 좌표계 전부에 있는 대표가 있다; i.e,


A = Ax I + AyJ + AzK
A = A'x i + A'yj + A'zk
 

시간에 벡터 A에 있는 변화를 2개의 좌표계 사이 결정적인 다름이라고 생각함 것이 관성계에서 저것의 때 단위 벡터는 자전 체계에 없더라도 반면 일정하다. 따라서,


dA/dt = (dAx/dt)I + (dAy/dt)J + (dAz/dt)K
but
dA/dt = (dA'x/dt)i + (dA'y/dt)j + (dA'z/dt)k
+ A'xdi/dt + A'ydj/dt + A'zdk/dt
 

기간


(dA'x/dt)i + (dA'y/dt)j + (dA'z/dt)k
 

drA/dt로 표시될 수 있는 자전 좌표계에 있는 A의 변화의 해시계 시간 비율을 대표하십시오. 따라서


dA/dt = drAdt) + A'xdi/dt + A'ydj/dt + A'zdk/dt
 

자전 좌표계의 접평면 단위 벡터의 시간 유래물

r가 구체의 반경인 곳에 접평면 좌표계의 근원 적 관점은 직사각형 협조 (x, y, z) 로 관성 구조의 점에서 표현될 수 있다 또는 둥근 협조 (r, θ, φ) 는, θ 경도이고 φ는 위도이다. 2개의 대표 사이 관계는:


x = rcos(φ)cos(θ)
y = rcos(φ)sin(θ)
z = rcos(φ)
 

관성 구조의 점에서 현지 수직 단위 벡터 k는에 (x, y, z):


k = (x/r)I + (y/r)J + (z/r)K
so
dk/dt = (1/r)((dx/dt)I + (dy/dt)J + (dz/dt)K)
 

r와 φ가 일정하고와 θ = Ωt이기 때문에


dx/dt = -rcos(φ)sin(θ)(dθ/dt) = -rcos(φ)sin(θ)Ω
dy/dt = rcos(φ)cos(θ)(dθ/dt) = rcos(φ)cos(θ)Ω
dz/dt = 0.
 

그러므로


dk/dt = Ω[-cos(φ)sin(θ)I + cos(φ)cos(θ)J]
 

다른 한편으로는, Ωxk는 결정 요인과 동등하다:


|IJK|
|00Ω|
|(x/r)(y/r)(z/r)|

 

감소시키는지 어느 것으로


I((-y/r)Ω) - J((-x/r)Ω) + K(0)
= Ω((-y/r)I + (x/r)J)
but
y/r = cos(φ)sin(θ) 및 x/r = cos(φ)cos(θ)
so
Ωxk = dk/dt
 

나가 관성 구조로 표현한 현지 동쪽가르키 단위 벡터는 이다


i = -sin(θ)I + cos(θ)J
및 therefore
di/dt = -cos(θ)ΩI - sin(θ)ΩJ
= -Ω(cos(θ)I + sin(θ)J<
 

그러나 결정 요인에 의해 주어지는 Ωxi


|IJK|
|00Ω|
|-sin(θ)cos(θ)0|

 

로 감소시킨다 -- I(-Ωcos(θ) - J(sin(θ) + K(0)동일하는은 지 어느 것 -- 이렇게 -Ω(cos(θ)I + sin(θ)J which is Ωxi.로,


di/dt = Ωxi
 

그리고 마지막으로 관성 구조로 인 표현한 현지 북가르키 단위 벡터 j가 있다,


j = -sin(φ)cos(θ)I - sin(φ)sin(θ)J + cos(φ)K
및 therefore
dj/dt = sin(φ)sin(θ)ΩI - sin(φ)cos(θ)ΩJ
Ω(sin(φ)sin(θ)I - sin(φ)cos(θ)J).
 

그러나 결정적인 모양에 있는 Ωxj는 이다


|IJK|
|00Ω|
|-sin(φ)cos(θ)-sin(φ)cos(θ)cos(φ)|

 

감소시키는지 어느 것으로


I(sin(φ)sin(θ)Ω - J(sin(φ)cos(θΩ) + K(0)
= Ω(sin(φ)sin(θ)I - sin(φ)cos(θ)J).
 

이렇게 dj/dt와 그러나 이것 동일


dj/dt = Ωxj.
 

벡터의 시간 유래물의 일반적인 모양

일반적인 벡터를 위해 이전 섹션에서 찾아냈다


dA/dt = drA/dt + A'xdi/dt + A'ydj/dt + A'zdk/dt
 

Ωxi, ΩxjΩxk 및 가위곱에서 인수 분해되는 교체 벡터 Ω가 결과 때 만약에 현지 단위 벡터의 시간 유래물이, 디디뮴/dt, dj/dt 및 dk/dt 그들의 가치, 대체되면:


dA/dt = drA/dt + Ωx(A'xi + A'yj + A'zk)
 

인지 어느 것이


dA/dt = drA/dt + ΩxA

 

이것은 벡터의 시간 유래물이 구조를 위한 교체 벡터 및 벡터 자체의 벡터 가위곱인 벡터 플러스 자전 구조에 있는 그것의 해시계 시간 유래물에서 건설할 다는 것을 밝힌다. 그런 단위 벡터는 공식이 적용하는 위치 벡터의 다만 특별한 케이스이다 단위 기초 벡터의 시간 유래물이 논쟁을 기준으로 하여 위 공식에서 파생되는 문학에 있는 장소의 수가 있다. 이것은 유효한에 공식이 그 기초 벡터의 시간 유래물의 결심에서 파생되어야 하기 때문에 있다. 공식은 기초 벡터에 당연히 적용한다 그러나 논리적으로 부당하다 자체를 공식에서 기초 벡터에 그것의 신청 파생하기 위하여.

유도는 위치 벡터를 위해 준엄하게 붙들고 축 벡터 (위치 벡터의 벡터 가위곱인 각 운동량 및 토크와 같은 벡터) 에 그것의 연장은 추가적인 분석을 요구한다. 이 연장을 위해 축 벡터를 보십시오.


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