传染媒介的时间衍生物
在一个转动的坐标系

注： 在以下传染媒介和标量之间的印刷分别是传染媒介在红色显示。 这分别有视觉冲击但可变物的本质从它使用的上下文通常是欣然明显的。

考虑二坐标系，一一个固定的(惯性)长方形系统以单位向量I， J和K，转动在半径R.球形的表面的其他。 后者有单位向量i， j， k。 球形转动以Ω的恒定的率。在自转传染媒介是ΩK.在转动的坐标系的惯性坐标系，单位向量i到东部，单位向量j到北部并且单位向量k是垂直正常的对表面，自转传染媒介Ω有表示法

Ω = Ωcos(φ)j + Ωsin(φ)k
 

φ那里是纬度角度。

任意传染媒介A有表示法在两个坐标系; 即，

A = A_x I + A_yJ + A_zK
A = A'_x i + A'_yj + A'_zk
 

当认为在传染媒介A上的变化以时间二个坐标系之间的关键的区别是那在惯性系时单位向量是恒定的而在转动的系统他们不。 因此，

dA/dt = (dA_x/dt)I + (dA_y/dt)J + (dA_z/dt)K
but
dA/dt = (dA'_x/dt)i + (dA'_y/dt)j + (dA'_z/dt)k
+ A'_xdi/dt + A'_ydj/dt + A'_zdk/dt
 

期限

(dA'_x/dt)i + (dA'_y/dt)j + (dA'_z/dt)k
 

代表A的变动的太阳时率在转动的坐标系，可以表示作为drA/dt。 因而

dA/dt = d_rAdt) + A'_xdi/dt + A'_ydj/dt + A'_zdk/dt
 

一个转动的坐标系的切面单位向量的时间衍生物

问题的切面坐标系的起源可以被表达根据惯性坐标系或者用直角坐标(x、y， z)或球状座标(r， θ， φ)， r的地方是球形的半径， θ是经度并且φ是纬度。 二个表示法之间的关系是：

x = rcos(φ)cos(θ)
y = rcos(φ)sin(θ)
z = rcos(φ)
 

地方垂直的单位向量k在(x、y， z)根据惯性坐标系是：

k = (x/r)I + (y/r)J + (z/r)K
so
dk/dt = (1/r)((dx/dt)I + (dy/dt)J + (dz/dt)K)
 

因为r和φ是恒定和θ = Ωt

dx/dt = -rcos(φ)sin(θ)(dθ/dt) = -rcos(φ)sin(θ)Ω
dy/dt = rcos(φ)cos(θ)(dθ/dt) = rcos(φ)cos(θ)Ω
dz/dt = 0.
 

所以

dk/dt = Ω[-cos(φ)sin(θ)I + cos(φ)cos(θ)J]
 

另一方面， Ωxk与定列式是相等的：

|	I	J	K	|
|	0	0	Ω	|
|	(x/r)	(y/r)	(z/r)	|

 

哪些减少

I((-y/r)Ω) - J((-x/r)Ω) + K(0)
= Ω((-y/r)I + (x/r)J)
but
y/r = cos(φ)sin(θ) 和 x/r = cos(φ)cos(θ)
so
Ωxk = dk/dt
 

我用惯性坐标系表达的地方东部指向单位向量是

i = -sin(θ)I + cos(θ)J
和 therefore
di/dt = -cos(θ)ΩI - sin(θ)ΩJ
= -Ω(cos(θ)I + sin(θ)J<
 

但Ωxi给出由定列式

|	I	J	K	|
|	0	0	Ω	|
|	-sin(θ)	cos(θ)	0	|

 

减少 -- I(-Ωcos(θ) - J(sin(θ) + K(0)哪些是相同 -- 作为 -Ω(cos(θ)I + sin(θ)J which is Ωxi.因而，

di/dt = Ωxi
 

并且最后有地方北部指向单位向量j，用惯性坐标系表达是

j = -sin(φ)cos(θ)I - sin(φ)sin(θ)J + cos(φ)K
和 therefore
dj/dt = sin(φ)sin(θ)ΩI - sin(φ)cos(θ)ΩJ
Ω(sin(φ)sin(θ)I - sin(φ)cos(θ)J).
 

但Ωxj以定列式形式是

|	I	J	K	|
|	0	0	Ω	|
|	-sin(φ)cos(θ)	-sin(φ)cos(θ)	cos(φ)	|

 

哪些减少

I(sin(φ)sin(θ)Ω - J(sin(φ)cos(θΩ) + K(0)
= Ω(sin(φ)sin(θ)I - sin(φ)cos(θ)J).
 

但这同dj/如此dt一样

dj/dt = Ωxj.
 

传染媒介的时间衍生物的一般形式

它在为一般传染媒介的前面的部分被发现了

dA/dt = d_rA/dt + A'_xdi/dt + A'_ydj/dt + A'_zdk/dt
 

如果地方单位向量的时间衍生物、二/dt， dj/dt和dk/dt，被他们的价值替换当Ωxi、Ωxj和Ωxk和从交叉产品Ω析因的自转传染媒介结果是：

dA/dt = d_rA/dt + Ωx(A'_xi + A'_yj + A'_zk)
 

哪些是

dA/dt = d_rA/dt + ΩxA

这认为传染媒介的时间衍生物在转动的框架可以从它的太阳时衍生物被修建加上是自转传染媒介为框架和传染媒介的传染媒介交叉产品的传染媒介。 有单位依据传染媒介时间衍生物从上述惯例获得根据论据地方的数字在文学这样单位向量是的位矢特殊情况惯例适用。 这在合法因为惯例必须从那些依据传染媒介时间衍生物的决心获得。 当然惯例适用于依据传染媒介但它是逻辑上无效的获得它的应用到依据传染媒介从惯例。

派生为位矢严密地举行并且它的引伸到轴向传染媒介(是位矢传染媒介交叉产品)的传染媒介例如角动量和扭矩要求另外的分析。 为这个引伸看轴向传染媒介。