Tidderivatan av en Vector
i rotera koordinera systemmen

Anteckning: I följa den typografisk skillnaden emellan vectors och scalars finnas att en vector finnas visat i rött. Denna skillnad har en visuell inverkan, men naturen av en variabel finnas vanligt klart påtagligt alltifrån sammanhang i vilket den finnas använt.

Anse två koordinerar systemmar, etta som en fast (trög) rektangulär system med enheten vectors I, J och K, den annan som roterar på ytan av en sfär av radien R. Det mer sen har enhetvectors i, j och k. Sfären finnas att rotera hos en konstant hastighet av Ω. i det trögt koordinerar systemmen som rotationvectoren finnas ΩK. i rotera koordinerar systemmen, var enhetvectoren i finnas till easten, enhetvectoren j finnas till det nordligt, och enhetvectoren k finnas vertikalt gängse till ytan, rotationvectoren Ω har representationen

Ω = Ωcos(φ)j + Ωsin(φ)k
 

var φ finnas latitudevinkeln.

En godtycklig vector A har representationer i både koordinerar systemmar; dvs.

A = A_x I + A_yJ + A_zK
A = A'_x i + A'_yj + A'_zk
 

När du anser när förändringen i vectoren A med tid som den avgörande skillnaden emellan tvåna koordinerar systemmar, finnas det i den tröga systemmen enhetvectorsna finnas konstant, eftersom i den rotera systemmen de finnas inte. Således,

dA/dt = (dA_x/dt)I + (dA_y/dt)J + (dA_z/dt)K
but
dA/dt = (dA'_x/dt)i + (dA'_y/dt)j + (dA'_z/dt)k
+ A'_xdi/dt + A'_ydj/dt + A'_zdk/dt
 

Ordalaget

(dA'_x/dt)i + (dA'_y/dt)j + (dA'_z/dt)k
 

föreställa den påtagliga tidhastigheten av förändring av A i rotera koordinerar systemmen, den vilkna burken finnas betecknat såsom drA/avskiljare. Således

dA/dt = d_rAdt) + A'_xdi/dt + A'_ydj/dt + A'_zdk/dt
 

Tidderivata av vectorsna för beröringshyvelenheten av rotera koordinerar systemmen

Punkten av uppkomsten av beröringshyveln koordinerar systemburken finnas uttryckt i ordalag av den tröga ramen i rektangulärt koordinerar heller (x, y, z), eller sfäriskt koordinerar (r, θ, φ), r finnas var radien av sfären, θ finnas longituden, och φ finnas latituden. Relationen emellan de två representationerna finnas:

x = rcos(φ)cos(θ)
y = rcos(φ)sin(θ)
z = rcos(φ)
 

Den lokala vertikala enhetvectoren k hos (x, y, z) i ordalag av den tröga ramen finnas:

k = (x/r)I + (y/r)J + (z/r)K
således
dk/dt = (1/r)((dx/dt)I + (dy/dt)J + (dz/dt)K)
 

Sedan r och φ finnas konstant och θ = Ωt

dx/dt = -rcos(φ)sin(θ)(dθ/dt) = -rcos(φ)sin(θ)Ω
dy/dt = rcos(φ)cos(θ)(dθ/dt) = rcos(φ)cos(θ)Ω
dz/dt = 0.
 

Därför

dk/dt = Ω[-cos(φ)sin(θ)I + cos(φ)cos(θ)J]
 

Å ena sidan Ωxk finnas jämbördig till determinanten:

|	I	J	K	|
|	0	0	Ω	|
|	(x/r)	(y/r)	(z/r)	|

 

vilket reducerar till

I((-y/r)Ω) - J((-x/r)Ω) + K(0)
= Ω((-y/r)I + (x/r)J)
but
y/r = cos(φ)sin(θ) och x/r = cos(φ)cos(θ)
således
Ωxk = dk/dt
 

Den lokala east-peka enhetvectoren som jag uttryckte i den tröga ramen, finnas

i = -sin(θ)I + cos(θ)J
och therefore
di/dt = -cos(θ)ΩI - sin(θ)ΩJ
= -Ω(cos(θ)I + sin(θ)J<
 

Men Ωxi som ges vid determinanten

|	I	J	K	|
|	0	0	Ω	|
|	-sin(θ)	cos(θ)	0	|

 

reducerar till I(-Ωcos(θ) - J(sin(θ) + K(0)vilket finnas samma såsom -Ω(cos(θ)I + sin(θ)J which is Ωxi. Således,

di/dt = Ωxi
 

Och slutligen det finnas den lokala nord-peka enhetvectoren j, vilket som uttryckas i den tröga ramen, finnas

j = -sin(φ)cos(θ)I - sin(φ)sin(θ)J + cos(φ)K
och therefore
dj/dt = sin(φ)sin(θ)ΩI - sin(φ)cos(θ)ΩJ
Ω(sin(φ)sin(θ)I - sin(φ)cos(θ)J).
 

Men Ωxj i determinant blankett finnas

|	I	J	K	|
|	0	0	Ω	|
|	-sin(φ)cos(θ)	-sin(φ)cos(θ)	cos(φ)	|

 

vilket reducerar till

I(sin(φ)sin(θ)Ω - J(sin(φ)cos(θΩ) + K(0)
= Ω(sin(φ)sin(θ)I - sin(φ)cos(θ)J).
 

Men detta samma såsom dj/avskiljare så

dj/dt = Ωxj.
 

Den allmänna blanketten av tidderivatan av en Vector

Den återfinnas i det föregående avsnittet som för en allmän vector

dA/dt = d_rA/dt + A'_xdi/dt + A'_ydj/dt + A'_zdk/dt
 

Om tidderivata av de lokala enhetvectorsna, middagarna/avskiljare, djen/avskiljare och dken/avskiljare, finnas ersatt vid deras värden såsom Ωxi, Ωxj och Ωxk och rotationvectoren Ω factored alltifrån korprodukterna, resultatet finnas:

dA/dt = d_rA/dt + Ωx(A'_xi + A'_yj + A'_zk)
 

vilket finnas inga som är andra än

dA/dt = d_rA/dt + ΩxA

Detta säjerar, som tidderivatan av en vectorburk finnas konstruerat alltifrån dess påtagliga tidderivata i den rotera ramen plus den vilkna vectoren, finnas vectorkorprodukten av rotationvectoren för ramen och vectoren sig själv. Det finnas nummret av platser i litteraturen, var som tidderivata av enhetbasvectorsna finnas härlett alltifrån ovan formeln på basen av argumentet att sådan enhetvectors finnas justa specialfall av positionvectors till vilket formeln ansöker. Detta finnas i giltigt, därför att formeln måster finnas härlett alltifrån beslutsamheten av tidderivata av de basvectors. Formeln gäller naturligtvis basvectorsna, men den finnas logiskt ogiltigt till härleder dess ansökan till basvectorsna alltifrån formeln sig själv.

Derivationen håller strängt för positionvectors, och dess förlängning till axiella vectors (vectors liksom vinkelformig vilkna fart och vridmoment finnas vectorkorprodukter av positionvectors), fordrar extra analys. Härför förlängning ser axiella Vectors.