| applet-magic.com Thayer Watkins Silicon Valley De V.S. |
|---|
|
|
Overweeg eerst het volgende optimaliseringsprobleem en zijn vergelijkende statics:
De eerste ordevoorwaarden voor de maximaliserende waarden van x1 en x2 zijn:
waar λ de Lagrangian multiplicator is.
De differentiatie van de eerste ordevergelijkingen met betrekking tot p1 opbrengsten
waar ui,j=∂2u/∂xj∂xi.
De differentiatie van de begrotingsbeperking met betrekking tot p1 brengt een vergelijking op die in de vorm kan worden gezet:
Deze vergelijkingen in matrijsvorm zijn:
| | u1,1 | u1,2 | -p1 | | | ∂x1/∂p1 | | | λ | | |
| | u2,1 | u2,2 | -p1 | | | ∂x2/∂p1 | | = | | 0 | |
| | -p1 | -p2 | 0 | | | ∂λ/∂p1 | | | x1 | |
Laat de 3×3 matrijs op de linkerzijde, die een gegrenste matrijs van de Jute gebeurt worden genoemd, als H. worden aangeduid. De kolomvector van de x1, x2 en λ waarden gedeeltelijke derivaten met betrekking tot p1 kan als ∂X/∂p1 worden aangeduid. De matrijsvergelijking wordt dan
waar de kolomvector op het recht in de vorm van wordt vertegenwoordigd herschik van een rijvector.
Aldus is de oplossing ∂X/∂p1 = H-1(λ, 0, x1)T
welke in twee termen kan worden ontbonden; d.w.z.,
Deze twee termijnen vertegenwoordigen het substitutieeffect en het inkomenseffect, respectievelijk. Deze bewering moet worden bewezen.
Wanneer de eerste ordevoorwaarden met betrekking tot inkomen y worden onderscheiden is het resultaat:
| | u1,1 | u1,2 | -p1 | | | ∂x1/∂y | | | 0 | | |
| | u2,1 | u2,2 | -p1 | | | ∂x2/∂y | | = | | 0 | |
| | -p1 | -p2 | 0 | | | ∂λ/∂y | | | -1 | |
Aldus
De tweede termijn in de vergelijking voor het effect van een verandering in p1,
Aldus is deze termijn het inkomenseffect. Om het substitutieeffect vast te stellen moet een ander optimaliseringsprobleem worden overwogen.
Het optimaliseringsprobleem is:
De eerste ordevoorwaarden voor dit optimaliseringsprobleem zijn:
waar de Lagrangian multiplicator zoals (1/μ) is uitgedrukt opdat de eerste voorwaarden kunnen worden geschreven zoals
De differentiatie van deze vergelijkingen met betrekking tot p1 brengt hoofdzakelijk zelfde eerst vergelijking twee zoals voor het eerste optimaliseringsprobleem op. In het vorige geval werd de beperking onderscheiden met betrekking tot p1. In dit geval is het resultaat
De matrijsvorm van de vergelijking is zo
Dit is het zelfde als de andere termijn in de vergelijkende statics analyse voor het eerste optimaliseringsprobleem met λ=μ.
De zelfde resultaten zijn voor veranderingen in p2 van toepassing.
Aldus hebben wij de vergelijking van Slutsky:
waar ∂X/∂pi en ∂X/∂y het effect van een verandering in de prijs pi en geldinkomen y op de vector van geëistee hoeveelheden en de Lagrangian multiplicator vertegenwoordigen. De aantekening ()y, ()u en ()p wijst erop dat de derivaten binnen van de haakjes met, respectievelijk zijn, geldinkomen y constant gehouden, nuts (echt inkomen) u gehouden constant, en alle prijzen p gehouden constant.
Addendendum:
Bi,j het voorafgaan van slechts een verandering in p1 werd nagedacht. Er zijn analoge vergelijkingen voor het effect van een verandering in p2. Eerder dan om die vergelijkingen voor te stellen afzonderlijk is het interessanter om de vergelijkende statics analyse van prijs en geldinkomensveranderingen voor te stellen.
De volledige reeks vergelijkingen die uit de eerste ordevoorwaarden voortkomen is:
| | u1,1 | u1,2 | -p1 | | | λ 0 0 | | ||
| | u2,1 | u2,2 | -p1 | | | ∂X/∂p1 ∂X/∂p2 ∂X/∂y | | = | | 0 λ 0 | |
| | -p1 | -p2 | 0 | | | x1 x2 - 1 | |
waar X de kolom vector (x1, x2, λ)T. is.
Aldus is de oplossing
| | λ 0 0 | | ||
| | ∂X/∂p1 ∂X/∂p2 ∂X/∂y | | = H-1 | | 0 λ 0 | |
| | x1 x2 - 1 | |
waar H de gegrenste matrijs van de Jute is.
|
HOMEPAGE VAN Thayer Watkins |