applet-magic.com
Thayer Watkins
Silicon Valley
LES Etats-Unis

L'équation de Slutsky

Considérez d'abord le problème suivant d'optimisation et son statics comparatif :


Maximisez U(x1, x2)
en ce qui concerne x1 et x2
sujet à la contrainte cela
p1x1 + p2x2 = y
 

Les premières conditions d'ordre pour les valeurs de maximum de x1 et de x2 sont :


∂u/∂x1 - λp1 = 0
∂u/∂x2 - λp2 = 0
 

là où le λ est le multiplicateur lagrangien.

Statics comparatif

La différentiation des premières équations d'ordre en ce qui concerne les rendements p1


u1,1∂x1/∂p1 + u1,2∂x2/∂p1 - p1∂λ/∂p1 = λ
 
u2,1∂x1/∂p1 + u2,2∂x2/∂p1 - p2∂λ/∂p1 = 0
 

là où l'ui,j est ∂2u/∂xj∂xi.

La différentiation de la contrainte de budget en ce qui concerne p1 rapporte une équation qui peut être mise dans la forme :


- p1 (∂x1/∂p1) - p2 (∂x2/∂p1) = x1.
 

Ces équations sous la forme de matrice sont :


| u1,1 u1,2 - p1 | | ∂x1/∂p1 |   | λ  |
| u2,1 u2,2 - p1 | | ∂x2/∂p1 | = | 0  |
| - p1 - p2    0 | | ∂λ/∂p1   |   | x1 |

 

Laissez la matrice 3×3 du côté gauche, qui s'avère justement s'appeler une matrice encadrée de toile de jute, soit dénoté comme H. Le vecteur de colonne du x1, du x2 et des dérivés partiels de valeurs de λ en ce qui concerne p1 peut être dénoté comme ∂X/∂p1. L'équation de matrice deviennent alors


H(∂X/∂p1) = (λ, 0, x1)T,
 

là où le vecteur de colonne du côté droit est représenté sous forme de transposition d'un vecteur de rangée.

Ainsi la solution est le ∂X/∂p1 = H-1(λ, 0, x1)T
ce qui peut être décomposé en deux limites ; c.-à-d.,


∂X/∂p1 = H-1(λ, 0, 0)T + H-1(0, 0, x1)T
 

Ces deux limites représentent l'effet de substitution et l'effet de revenu, respectivement. Cette affirmation doit être avérée.

L'effet de revenu

Quand les premiers conditions d'ordre sont différenciés en ce qui concerne le revenu y le résultat est :


| u1,1 u1,2 - p1 | | ∂x1/∂y |   | 0 |
| u2,1 u2,2 - p1 | | ∂x2/∂y | = | 0  |
| - p1 - p2    0 | | ∂λ/∂y   |   | - 1 |

 

Ainsi


∂X/∂y = H-1(0, 0, - 1)T
 

La deuxième limite dans l'équation pour l'effet d'un changement de p1,


H-1(0, 0, x1)T
peut être représenté As
 
- x1H-1(0, 0, - 1)T
et par conséquent As
-x1 (∂X/∂y)
 

Ainsi cette limite est l'effet de revenu. Pour établir la substitution effectuez un autre problème d'optimisation doit être considéré.

Réduisant au minimum le coût de réaliser un niveau de service donné

Le problème d'optimisation est :


Réduisez au minimum C = p1x1 + p2x2
en ce qui concerne x1 et x2
sujet à la contrainte
U(x1, x2) = u0.
 

Les premières conditions d'ordre pour ce problème d'optimisation sont :


p1 - (1/μ) ∂u/∂x1 = 0
p2 - (1/μ) ∂u/∂x2 = 0
 

là où le multiplicateur lagrangien a été exprimé comme (1/μ) pour que les premières conditions puissent être écrites As


∂u/∂x1 - μp1 = 0
∂u/∂x2 - μp2 = 0
 

La différentiation de ces équations en ce qui concerne les rendements p1 essentiellement la même première équation deux que pour le premier problème d'optimisation. Dans le cas précédent la contrainte a été différenciée en ce qui concerne p1. Dans ce cas-ci le résultat est


∂u/∂x1 (∂x1/∂p1) + ∂u/∂x2 (∂x2/∂p1) = 0
mais en raison des premiers conditions d'ordre cela
∂u/∂x1 = μp1 et ∂u/∂x2 = μp2
la condition peut être exprimée As
- p1∂x1/∂p1 - p2∂x2/∂p1 = 0
 

La forme de matrice de l'équation est ainsi


H(∂X/∂p1) = (μ, 0, 0)T
et leur solution est
∂X/∂p1 = H-1(μ, 0, 0)T
 

C'est identique que l'autre limite dans l'analyse comparative de statics pour le premier problème d'optimisation avec le λ=μ.

Les mêmes résultats s'appliquent pour des changements de p2.

Ainsi nous avons l'équation de Slutsky :


(∂X/∂pi)y = (∂X/∂pi)u - xi(∂X/∂y)P
 

là où le ∂X/∂pi et ∂X/∂y représente l'impact d'un changement du prix pi et les revenus nominaux y sur le vecteur des quantités exigées et du multiplicateur lagrangien. La notation ()y, ()u et ()P indique que les dérivés à l'intérieur de des parenthèses sont avec, respectivement, les revenus nominaux y ont tenu la constante, l'utilité (revenu réel réel) u a tenu la constante, et tous les prix P ont tenu la constante.


Addendendum :

Dans précéder seulement un changement de p1 a été considéré. Il y a des équations analogues pour l'impact d'un changement de p2. Plutôt que présentez ces équations séparément qu'il est plus intéressant de présenter l'analyse comparative de statics du prix et les revenus nominaux changent.

L'ensemble complet des équations qui dérivent des premiers conditions d'ordre est :


| u1,1 u1,2   -p1 |     | λ 0 0 |
| u2,1 u2,2   -p1 | | ∂X/∂p1 ∂X/∂p2 ∂X/∂y | = | 0 λ 0 |
| - p1 - p2     0 |      | x1 x2 - 1 |

 

là où X est le vecteur de colonne (x1, x2, λ)T.

Ainsi la solution est


    | λ   0   0 |
| ∂X/∂p1 ∂X/∂p2 ∂X/∂y | = H-1 | 0   λ  0 |
     | x1 x2 -1 |

 

là où H la matrice encadrée de toile de jute.


HOME PAGE d'applet-magie
HOME PAGE de Thayer Watkins