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Considérez d'abord le problème suivant d'optimisation et son statics comparatif :
Les premières conditions d'ordre pour les valeurs de maximum de x1 et de x2 sont :
là où le λ est le multiplicateur lagrangien.
La différentiation des premières équations d'ordre en ce qui concerne les rendements p1
là où l'ui,j est ∂2u/∂xj∂xi.
La différentiation de la contrainte de budget en ce qui concerne p1 rapporte une équation qui peut être mise dans la forme :
Ces équations sous la forme de matrice sont :
| | u1,1 | u1,2 | - p1 | | | ∂x1/∂p1 | | | λ | | |
| | u2,1 | u2,2 | - p1 | | | ∂x2/∂p1 | | = | | 0 | |
| | - p1 | - p2 | 0 | | | ∂λ/∂p1 | | | x1 | |
Laissez la matrice 3×3 du côté gauche, qui s'avère justement s'appeler une matrice encadrée de toile de jute, soit dénoté comme H. Le vecteur de colonne du x1, du x2 et des dérivés partiels de valeurs de λ en ce qui concerne p1 peut être dénoté comme ∂X/∂p1. L'équation de matrice deviennent alors
là où le vecteur de colonne du côté droit est représenté sous forme de transposition d'un vecteur de rangée.
Ainsi la solution est le ∂X/∂p1 = H-1(λ, 0, x1)T
ce qui peut être décomposé en deux limites ; c.-à-d.,
Ces deux limites représentent l'effet de substitution et l'effet de revenu, respectivement. Cette affirmation doit être avérée.
Quand les premiers conditions d'ordre sont différenciés en ce qui concerne le revenu y le résultat est :
| | u1,1 | u1,2 | - p1 | | | ∂x1/∂y | | | 0 | | |
| | u2,1 | u2,2 | - p1 | | | ∂x2/∂y | | = | | 0 | |
| | - p1 | - p2 | 0 | | | ∂λ/∂y | | | - 1 | |
Ainsi
La deuxième limite dans l'équation pour l'effet d'un changement de p1,
Ainsi cette limite est l'effet de revenu. Pour établir la substitution effectuez un autre problème d'optimisation doit être considéré.
Le problème d'optimisation est :
Les premières conditions d'ordre pour ce problème d'optimisation sont :
là où le multiplicateur lagrangien a été exprimé comme (1/μ) pour que les premières conditions puissent être écrites As
La différentiation de ces équations en ce qui concerne les rendements p1 essentiellement la même première équation deux que pour le premier problème d'optimisation. Dans le cas précédent la contrainte a été différenciée en ce qui concerne p1. Dans ce cas-ci le résultat est
La forme de matrice de l'équation est ainsi
C'est identique que l'autre limite dans l'analyse comparative de statics pour le premier problème d'optimisation avec le λ=μ.
Les mêmes résultats s'appliquent pour des changements de p2.
Ainsi nous avons l'équation de Slutsky :
là où le ∂X/∂pi et ∂X/∂y représente l'impact d'un changement du prix pi et les revenus nominaux y sur le vecteur des quantités exigées et du multiplicateur lagrangien. La notation ()y, ()u et ()P indique que les dérivés à l'intérieur de des parenthèses sont avec, respectivement, les revenus nominaux y ont tenu la constante, l'utilité (revenu réel réel) u a tenu la constante, et tous les prix P ont tenu la constante.
Addendendum :
Dans précéder seulement un changement de p1 a été considéré. Il y a des équations analogues pour l'impact d'un changement de p2. Plutôt que présentez ces équations séparément qu'il est plus intéressant de présenter l'analyse comparative de statics du prix et les revenus nominaux changent.
L'ensemble complet des équations qui dérivent des premiers conditions d'ordre est :
| | u1,1 | u1,2 | -p1 | | | λ 0 0 | | ||
| | u2,1 | u2,2 | -p1 | | | ∂X/∂p1 ∂X/∂p2 ∂X/∂y | | = | | 0 λ 0 | |
| | - p1 | - p2 | 0 | | | x1 x2 - 1 | |
là où X est le vecteur de colonne (x1, x2, λ)T.
Ainsi la solution est
| | λ 0 0 | | ||
| | ∂X/∂p1 ∂X/∂p2 ∂X/∂y | | = H-1 | | 0 λ 0 | |
| | x1 x2 -1 | |
là où H la matrice encadrée de toile de jute.
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