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Thayer Watkins
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USA

Die Slutsky Gleichung

Betrachten Sie zuerst das folgende Optimierung Problem und sein vergleichbares statics:


Maximize U(x1, x2)
with respect to x1 and x2
subject to the constraint that
p1x1 + p2x2 = y
 

Die ersten Auftrag Bedingungen für die maximierenwerte von x1 und von x2 sind:


∂u/∂x1 - λp1 = 0
∂u/∂x2 - λp2 = 0
 

wo λ der Lagrangian Vervielfacher ist.

Vergleichbares Statics

Die Unterscheidung der ersten Auftrag Gleichungen in Bezug auf Ergebnisse p1


u1,1∂x1/∂p1 + u1,2∂x2/∂p1 - p1∂λ/∂p1 = λ
 
u2,1∂x1/∂p1 + u2,2∂x2/∂p1 - p2∂λ/∂p1 = 0
 

where ui,j is ∂2u/∂xj∂xi.

Die Unterscheidung der Etatbegrenzung in Bezug auf p1 erbringt eine Gleichung, die in die Form gesetzt werden kann:


-p1(∂x1/∂pppppp1) - p2(∂x2/∂p1) = x1.
 

Diese Gleichungen in der Matrixform sind:


| u1,1u1,2 -p1 || ∂x1/∂p1 | | λ  |
| u2,1u2,2 -p1 | | ∂x2/∂p1 | = | 0  |
| -p1-p2    0 || ∂λ/∂p1   | | x1 |

 

Lassen Sie die Matrix 3×3 auf dem links, das geschieht, genannt zu werden eine eingefaßte Sackzeugmatrix, wird bezeichnet als H. Der Spalte Vektor des x1, des x2 und der Ableitungen der λ Werte in Bezug auf p1 kann als ∂X/∂p1 bezeichnet werden. Der Spalte Vektor des Der Spalte Vektor des x1, x2 der Ableitungen der λ Werte in Bezug auf p1 kann als ∂X/∂p1 bezeichnet werden. Die Matrixgleichung werden dann


H(∂X/∂p1) = (λ, 0 , x1)T,
 

wo der Spalte Vektor auf dem Recht in Form umstellen eines Reihe Vektors dargestellt wird.

So ist die Lösung ∂X/∂p1 = H-1(λ, 0 , x1)T
welches in zwei Bezeichnungen zerlegt werden kann; d.h.


∂X/∂p1 = H-1(λ, 0 , 0)T + H-1(0, 0 , x1)T
 

Diese zwei Bezeichnungen stellen den Ersatzeffekt und den Einkommenseffekt, beziehungsweise dar. Diese Behauptung soll nachgewiesen werden.

Der Einkommenseffekt

Wenn die ersten Auftrag Zustände in Bezug auf Einkommen y unterschieden werden, ist das Resultat:


| u1,1u1,2 -p1 || ∂x1/∂y | | 0 |
| u2,1u2,2 -p1 | | ∂x2/∂y | = | 0  |
| -p1-p2    0 || ∂λ/∂y   | | -1 |

 

So


∂X/∂y = H-1(0, 0 , -1)T
 

Die zweite Bezeichnung in der Gleichung für den Effekt einer änderung in p1,


H-1(0, 0 , x1)T
kann wie dargestellt werden
 
-x1H-1(0, 0 , -1)T
und folglich werden
-x1(∂X/∂y)
 

So ist diese Bezeichnung der Einkommenseffekt. Um den Ersatz herzustellen bewirken Sie ein anderes Optimierung Problem muß betrachtet werden.

Minderung die Kosten des Erzielens eines gegebenen Gebrauchsniveaus

Das Optimierung Problem ist:


Minimieen C = p1x1 + p2x2
with respect to x1 and x2
subject to the constraint
u(x1, x2) = u0.
 

Die ersten Auftrag Bedingungen für dieses Optimierung Problem sind:


p1 - (1/μ)∂u/∂x1 = 0
p2 - (1/μ)∂u/∂x2 = 0
 

wo der Lagrangian Vervielfacher wie ausgedrückt worden ist (1/μ) so dass die ersten Bedingungen wie geschrieben werden können


∂u/∂x1 - μp1 = 0
∂u/∂x2 - μp2 = 0
 

Die Unterscheidung dieser Gleichungen in Bezug auf Ergebnisse p1 im Wesentlichen die gleiche erste Gleichung zwei wie für das erste Optimierung Problem. Im vorhergehenden Fall wurde die Begrenzung in Bezug auf p1 unterschieden. In diesem Fall ist das Resultat


∂u/∂x1(∂x1/∂p1) + ∂u/∂x2(∂x2/∂p1) = 0
aber wegen der ersten Auftrag Zustände, die ∂u/∂x1 = μp1 und ∂u/∂x2 = μp2 der Zustand wie ausgedrückt werden können
-p1∂x1/∂p<<<<1 - p2∂x2/∂p1 = 0
 

Die Matrixform der Gleichung ist folglich


H(∂X/∂p1) = (μ, 0, 0)T
und die Lösung ist
∂X/∂p1 = H-1(μ, 0, 0)T
 

Dieses ist das selbe wie die andere Bezeichnung in der vergleichbaren statics Analyse für das erste Optimierung Problem mit λ=μ.

Die gleichen Resultate beantragen änderungen in p2.

So haben wir Gleichung Slutskys:


(∂X/∂pi)y = (∂X/∂pi)u - xi(∂X/∂y)P
 

wo ∂X/∂pi and ∂X/∂ystellt die Auswirkung einer änderung im Preis-PU und Geldeinkommen y auf dem Vektor der verlangten Quantitäten und des Lagrangian Vervielfachers dar. Die Darstellung ( )y, ( )u and ( )Pzeigt an, daß die Ableitungen in den Klammern mit beziehungsweise Geldeinkommen y hielten Konstante sind, hielt Dienstprogramm (Realeinkommen) u Konstante, und alle Preise P hielten Konstante.

Addendendum:

Im Vorangehen nur einer änderung in p1 wurde betrachtet. Es gibt analoge Gleichungen für die Auswirkung einer änderung in p2. Anstatt stellen Sie jene Gleichungen dar, separat, das es interessanter ist, die vergleichbare statics Analyse des Preises darzustellen und Geldeinkommen ändert.

Der volle Satz der Gleichungen, die von den ersten Auftrag Zuständen ableiten, ist:


| u1,1u1,2   -p1 |    | λ    0       0 |
| u2,1u2,2   -p1 | | ∂X/∂p1 ∂X/∂p2 ∂X/∂y | = | 0    λ       0 |
| -p1-p2     0 |      | x1   x2    -1 |

 

wo X der Spalte Vektor (x1, x2, λ) T. ist.

So ist die Lösung


    | λ    0       0 |
| ∂X/∂p1 ∂X/∂p2 ∂X/∂y | = H-1 | 0    λ       0 |
     | x1   x2    -1 |

 

wo H die eingefaßte Sackzeugmatrix ist.

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