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Gli S.U.A.

L'equazione di Slutsky

In primo luogo consideri il seguente problema di ottimizzazione ed il relativo statics comparativo:


Maximizzi U(x1, x2)
riguardo a x1 e x2
conforme al vincolo quello
p1x1 + p2x2 = y
 

I primi termini di ordine per i valori d'elevazione di x1 e di x2 sono:


∂u/∂x1 - λp1 = 0
∂u/∂x2 - λp2 = 0
 

dove il λ è il moltiplicatore Lagrangian.

Statics comparativo

La differenziazione delle primo grado equazioni riguardo ai rendimenti p1


u1,1∂x1/∂p1 + u1,2∂x2/∂p1 - p1∂λ/∂p1 = λ
 
u2,1∂x1/∂p1 + u2,2∂x2/∂p1 - p2∂λ/∂p1 = 0
 

dove il ui, j è ∂2u/∂xj∂xi .

La differenziazione del vincolo del preventivo riguardo a p1 rende un'equazione che può essere messa nella forma:


-p1(∂x1/∂pp1) - p2(∂x2/∂p1) = x1.
 

Queste equazioni nella forma della tabella sono:


| u1,1u1,2 -p1 || ∂x1/∂p1 | | λ  |
| u2,1u2,2 -p1 | | ∂x2/∂p1 | = | 0  |
| -p1-p2    0 || ∂λ/∂p1   | | x1 |

 

Lasci la tabella 3×3 a sinistra, che sembra essere denominato una tabella bordered della tela di iuta, è denotato come H. Il vettore della colonna del x1, del x2 e dei derivati parziali di valori del λ riguardo a p1 può essere denotato come ∂X/∂p1. L'equazione della tabella allora diventa


H(∂X/∂p1) = (λ, 0 , x1)T,
 

dove il vettore della colonna a destra è rappresentato sotto forma d'una trasposizione di un vettore di fila.

Così la soluzione è ∂X/∂p1 = H-1 (λ, 0, x1)T
quale può essere decomposto in due termini; cioè,


∂X/∂p1 = H-1(λ, 0 , 0)T + H-1(0, 0 , x1)T
 

Questi due termini rappresentano l'effetto della sostituzione e l'effetto di reddito, rispettivamente. Questa asserzione deve essere risultata.

L'effetto di reddito

Quando i primi stati di ordine sono differenziati riguardo a reddito y il risultato è:


| u1,1u1,2 -p1 || ∂x1/∂y | | 0 |
| u2,1u2,2 -p1 | | ∂x2/∂y | = | 0  |
| -p1-p2    0 || ∂λ/∂y   | | -1 |

 

Così


∂X/∂y = H-1(0, 0 , -1)T
 

Il secondo termine nell'equazione per l'effetto di un cambiamento in p1,


H-1(0, 0 , x1)T
può essere rappresentato As
 
-x1H-1(0, 0 , -1)T
e quindi As
-x1(∂X/∂y)
 

Così questo termine è l'effetto di reddito. Per stabilire la sostituzione effettui un altro problema di ottimizzazione deve essere considerato.

Minimizzando il costo di realizzare un dato livello pratico

Il problema di ottimizzazione è:


Minimizzi C = p1x1 + p2x2
riguardo a x1 e x2
conforme al vincolo quello
u(x1, x2) = u0.
 

I primi termini di ordine per questo problema di ottimizzazione sono:


p1 - (1/μ)∂u/∂x1 = 0
p2 - (1/μ)∂u/∂x2 = 0
 

dove il moltiplicatore Lagrangian è stato espresso come (1/μ) affinché le prime circostanze possono essere scritte As


∂u/∂x1 - μp1 = 0
∂u/∂x2 - μp2 = 0
 

La differenziazione di queste equazioni riguardo ai rendimenti p1 essenzialmente la stessa prima equazione due di per il primo problema di ottimizzazione. Nel caso precedente il vincolo è stato differenziato riguardo a p1. In questo caso il risultato è


∂u/∂x1(∂x1/∂p1) + ∂u/∂x2(∂x2/∂p1) = 0
ma a causa dei primi stati di ordine quello
∂u/∂x1 = μp1 e ∂u/∂x2 = μp2
la circostanza può essere espressa As
-p1∂x1/∂p<1 - p2∂x2/∂p1 = 0
 

La forma della tabella dell'equazione è così


H(∂X/∂p1) = (μ, 0, 0)T
e la loro soluzione è
∂X/∂p1 = H-1(μ, 0, 0)T
 

Ciò è la stessa dell'altro termine nell'analisi comparativa di statics per il primo problema di ottimizzazione con λ=μ.

Gli stessi risultati fanno domanda per i cambiamenti in p2.

Così abbiamo equazione dello Slutsky:


(∂X/∂pi)y = (∂X/∂pi)u - xi (∂X/∂y)P
 

dove il ∂X/∂pi e ∂X/∂y rappresenta l'effetto di un cambiamento nel prezzo pi ed il reddito di soldi y sul vettore delle quantità richieste e del moltiplicatore Lagrangian. La notazione () y, () u e () P indica che i derivati all'interno delle parentesi sono con, rispettivamente, reddito di soldi y hanno tenuto il costante, il programma di utilità (reddito reale) u ha tenuto il costante e tutti i prezzi P hanno tenuto il costante.

Addendendum:

Nel precedere soltanto un cambiamento in p1 è stato considerato. Ci sono equazioni analoghe per l'effetto di un cambiamento in p2. piuttosto che presenti quelle equazioni è esclusivamente che più interessante presentare l'analisi comparativa di statics del prezzo ed il reddito di soldi cambia.

L'insieme completo delle equazioni che derivano dai primi stati di ordine è:


| u1,1u1,2   -p1 |    | λ    0       0 |
| u2,1u2,2   -p1 | | ∂X/∂p1 ∂X/∂p2 ∂X/∂y | = | 0    λ       0 |
| -p1-p2     0 |      | x1   x2    -1 |

 

dove la X è il vettore della colonna (x1, x2, λ) T.

Così la soluzione è


    | λ    0       0 |
| ∂X/∂p1 ∂X/∂p2 ∂X/∂y | = H-1 | 0    λ       0 |
     | x1   x2    -1 |

 

dove la H è la tabella bordered della tela di iuta.

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