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首先考虑以下优化问题和它的比较statics ：
最大化 U(x1, x2)
关于x1 和 x2
受限制支配那
p1x1 + p2x2 = y
第一个命令条件为x1和x2的最大化的价值是：
∂u/∂x1 - λp1 = 0
∂u/∂x2 - λp2 = 0
λ那里是Lagrangian乘算器。
一次等式的分化关于p1出产量
u1,1∂x1/∂p1 + u1,2∂x2/∂p1 - p1∂λ/∂p1 = λ
u2,1∂x1/∂p1 + u2,2∂x2/∂p1 - p2∂λ/∂p1 = 0
那里 ui,j is ∂2u/∂xj∂xi.
预算限制的分化关于p1产生可以被放入形式的等式：
-p1(∂x1/∂pp1) - p2(∂x2/∂p1) = x1.
这些等式以矩阵形式是：
| u1,1 u1,2 -p1 | | ∂x1/∂p1 | | λ | | u2,1 u2,2 -p1 | | ∂x2/∂p1 | = | 0 | | -p1 -p2 0 | | ∂λ/∂p1 | | x1 |
让3×3矩阵在左边，偶然称一个毗邻的粗麻布矩阵，表示作为H。
x1、x2 和λ价值部份衍生物的专栏传染媒介关于p1可以表示作为∂X/∂p1
矩阵等式然后成为
H(∂X/∂p1) = (λ, 0 , x1)T,
以单行矩阵的移置的形式，专栏传染媒介在右边那里代表。
因而解答是
∂X/∂p1 = H-1(λ, 0 , x1)T
哪些可以被分解入二个期限; 即，
∂X/∂p1 = H-1(λ, 0 , 0)T
+ H-1(0, 0 , x1)T
这二个期限代表代替作用和所得效果，分别。 这主张将被证明。
当第一个命令条件被区分关于收入y时结果是：
| u1,1 u1,2 -p1 | | ∂x1/∂y | | 0 | | u2,1 u2,2 -p1 | | ∂x2/∂y | = | 0 | | -p1 -p2 0 | | ∂λ/∂y | | -1 |
因而
∂X/∂y = H-1(0, 0 , -1)T
第二个期限在等式为一个变化的作用在p1上的，
H-1(0, 0 , x1)T
-x1H-1(0, 0 , -1)
能代表
-x1(∂X/∂y)
因而这个期限是所得效果。 建立代替影响另一个优化问题必须被考虑。
优化问题是：
减到最小C = p1x1 + p2x2
关于x1和x2
受限制支配
u(x1, x2) = u0.
第一个命令条件为这个优化问题是：
p1 - (1/μ)∂u/∂x1 = 0
p2 - (1/μ)∂u/∂x2 = 0
Lagrangian乘算器那里被表达了和(1/μ)为了第一个条件可以被写
∂u/∂x1 - μp1 = 0
∂u/∂x2 - μp2 = 0
这些等式的分化关于p1根本出产量前二式和一样为第一个优化问题。 在早先案件限制被区分了关于p1。 在这种情况下结果是
∂u/∂x1(∂x1/∂p1)
+ ∂u/∂x2(∂x2/∂p1) = 0
但由于
∂u/∂x1 = μp1
和
∂u/∂x2 = μp2
情况可以被表达的第一个命令条件
-p1∂x1/∂p<1 - p2∂x2/∂p1 = 0
等式的矩阵形式因而是
H(∂X/∂p1) = (μ, 0, 0)T
并且他们的解答是
∂X/∂p1 = H-1(μ, 0, 0)T
这是相同象另一个期限在比较statics分析为第一个优化问题与λ=μ。
同样结果申请在p2上的变化。
因而我们有Slutsky的等式：
(∂X/∂pi)y = (∂X/∂pi)u - xi(∂X/∂y)P
where ∂X/∂pi and ∂X/∂y在数量被要求的和Lagrangian乘算器传染媒介代表一个变化的冲击在价格pi上的和货币收入y。 记法 ( )y, ( )u and ( )P表明衍生物在括号里面分别为与，货币收入y举行了常数，公共事业(实际收入) u举行了常数，并且所有价格P举行了常数。
Addendendum ：
在在之前在p1上的仅一个变化被考虑了。 有近似等式为一个变化的冲击在p2上的。 而不是提出那些等式分开地提出对价格的比较statics分析是更加有趣的并且货币收入改变。
从第一个命令条件获得等式的全套是：
| u1,1 u1,2 -p1 | | λ 0 0 | | u2,1 u2,2 -p1 | | ∂X/∂p1 ∂X/∂p2 ∂X/∂y | = | 0 λ 0 | | -p1 -p2 0 | | x1 x2 -1 |
X那里是专栏传染媒介(x1， x2， λ) T。
因而解答是
| λ 0 0 | | ∂X/∂p1 ∂X/∂p2 ∂X/∂y | = H-1 | 0 λ 0 | | x1 x2 -1 |
H那里是毗邻的粗麻布矩阵。
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