Considere primeiramente o seguinte problema do optimization e seu statics comparativo:

Maximize U(x₁, x₂)
com respeito a x₁ and x₂
assunto ao confinamente isso
p₁x₁ + p₂x₂ = y
 

As primeiras condições da ordem para os valores maximizing de x₁ e de x₂ são:

∂u/∂x₁ - λp₁ = 0
∂u/∂x₂ - λp₂ = 0
 

onde o λ é o multiplicador Lagrangian.

Statics comparativo

O differentiation das primeiras equações da ordem com respeito aos rendimentos p₁

u_1,1∂x₁/∂p₁ + u_1,2∂x₂/∂p₁ - p₁∂λ/∂p₁ = λ
 
u_2,1∂x₁/∂p₁ + u_2,2∂x₂/∂p₁ - p₂∂λ/∂p₁ = 0
 

where u_i,j is ∂²u/∂x_j∂x_i.

O differentiation do confinamente do orçamento com respeito a p₁ rende uma equação que possa ser posta no formulário:

-p₁(∂x₁/∂pp₁) - p₂(∂x₂/∂p₁) = x₁.
 

Estas equações no formulário da matriz são:

| u1,1	u1,2	-p1 |	| ∂x1/∂p1 |		| λ  |
| u2,1	u2,2	-p1 |	| ∂x2/∂p1 |	=	| 0  |
| -p1	-p2	0 |	| ∂λ/∂p1   |		| x1 |

 

Deixe a matriz 3×3 na esquerda, que acontece ser chamada uma matriz limitada do Hessian, seja denotado como o H. The column vector of the x₁, x₂ and λ values partial derivatives with respect to p₁ can be denoted as ∂X/∂p₁. A equação da matriz torna-se então

H(∂X/∂p₁) = (λ, 0 , x₁)^T,
 

onde o vetor da coluna na direita é representado no formulário transpo de um vetor da fileira.

Assim a solução é ∂X/∂p₁ = H^-1(λ, 0 , x₁)^T
qual pode decomposed em dois termos; isto é,

∂X/∂p₁ = H^-1(λ, 0 , 0)^T + H^-1(0, 0 , x₁)^T
 

Estes dois termos representam o efeito da substituição e o efeito de renda, respectivamente. Esta afirmação deve ser provada.

O efeito de renda

Quando as primeiras condições da ordem são diferenciadas com respeito à renda y o resultado é:

| u1,1	u1,2	-p1 |	| ∂x1/∂y |		| 0 |
| u2,1	u2,2	-p1 |	| ∂x2/∂y |	=	| 0  |
| -p1	-p2	0 |	| ∂λ/∂y   |		| -1 |

 

Assim

∂X/∂y = H^-1(0, 0 , -1)^T
 

O segundo termo na equação para o efeito de uma mudança em p₁,

H^-1(0, 0 , x₁)^T
pode ser representado como
 
-x₁H^-1(0, 0 , -1)T
e daqui como
-x₁(∂X/∂y)
 

Assim este termo é o efeito de renda. Para estabelecer a substituição efetue um outro problema do optimization tem que ser considerado.

Minimizando o custo de conseguir um nível de serviço público dado

O problema do optimization é:

Maximize U (x1, x2) com respeito a x1 e a x2 assunto ao confinamente isso Minimize C = p₁x₁ + p₂x₂
om respeito a x₁ and x₂
assunto ao confinamente isso
u(x₁, x₂) = u₀.
 

As primeiras condições da ordem para este problema do optimization são:

p₁ - (1/μ)∂u/∂x₁ = 0
p₂ - (1/μ)∂u/∂x₂ = 0
 

onde o multiplicador Lagrangian foi expressado como (1/μ) a fim de que as primeiras circunstâncias possam ser escritas como

∂u/∂x₁ - μp₁ = 0
∂u/∂x₂ - μp₂ = 0
 

O differentiation destas equações com respeito aos rendimentos p₁ essencialmente a mesma primeira equação dois que para o primeiro problema do optimization. No caso precedente o confinamente foi diferenciado com respeito a p₁. Neste caso o resultado está

∂u/∂x₁(∂x₁/∂p₁) + ∂u/∂x₂(∂x₂/∂p₁) = 0
mas por causa das primeiras condições da ordem que o ∂u/∂x1 = μp1 e o ∂u/∂x2 = μp2 a condição podem ser expressados como mas por causa das primeiras condições da ordem que o
∂u/∂x₁ = μp₁ e ∂u/∂x₂ = μp₂
a condição podem ser expressados como
-p₁∂x₁/∂p<<<<₁ - p₂∂x₂/∂p₁ = 0
 

O formulário da matriz da equação é assim

H(∂X/∂p₁) = (μ, 0, 0)^T
and their solution is
∂X/∂p₁ = H^-1(μ, 0, 0)^T
 

Este é o mesmo que o outro termo na análise comparativa do statics para o primeiro problema do optimization com λ=μ.

Os mesmos resultados aplicam-se para mudanças em p₂.

Assim nós temos a equação de Slutsky:

(∂X/∂p_i)_y = (∂X/∂p_i)_u - x_i(∂X/∂y)_P
 

where ∂X/∂p_i and ∂X/∂yrepresenta o impacto de uma mudança no preço pi e a renda de dinheiro y no vetor das quantidades exijidas e do multiplicador Lagrangian. A notação ( )_y, ( )_u and ( )_Pindica que os derivatives dentro dos parênteses são com, respectivamente, a renda de dinheiro y prenderam a constante, a utilidade (renda real) u prendeu a constante, e todos os preços P prenderam a constante.

Addendendum:

Em preceder somente uma mudança em p₁ foi considerado. Há umas equações analogous para o impacto de uma mudança em p₂. Melhor que apresente aquelas equações separada que é mais interessante apresentar a análise comparativa do statics do preço e a renda de dinheiro muda.

O jogo cheio das equações que se derivam das primeiras condições da ordem é:

| u1,1	u1,2	-p1 |			| λ    0       0 |
| u2,1	u2,2	-p1 |	| ∂X/∂p1 ∂X/∂p2 ∂X/∂y |	=	| 0    λ       0 |
| -p1	-p2	0 |			| x1   x2    -1 |

 

onde X é o vetor da coluna (x₁, x₂, λ) ^T.

Assim a solução é

		| λ    0       0 |
| ∂X/∂p1 ∂X/∂p2 ∂X/∂y |	= H-1	| 0    λ       0 |
		| x1   x2    -1 |

 

onde H é a matriz limitada do Hessian.